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 Wahlpflichtgegenstand Darstellende Geometrie (vertiefend)

Darstellende Geometrie

 Allgemeiner Teil des Lehrplans

Bildungs- und Lehraufgabe:

  Der Unterricht in Darstellender Geometrie soll zum Erreichen der
folgenden Ziele beitragen, die sowohl fachspezifische als auch
fachübergreifende Aspekte enthalten.

Fachspezifische Ziele:

  Die Schüler sollen befähigt werden zum
- Erfassen, Analysieren und sprachlich angemessenen Beschreiben
  geometrischer Formen und Strukturen, insbesondere der für
  technische Anwendungen wichtigen Kurven und Flächen;
- Lösen räumlicher Probleme unter Verwendung einer
  Konstruktionszeichnung;
- Erfassen der benützten geometrischen Begriffsbildungen;
- Anfertigen von Handskizzen räumlicher Objekte;
- Erkennen, welche Abmessungen ein Objekt bestimmen;
- Herstellen von Entwürfen;
- zeichnerischen Darstellen räumlicher Objekte durch geeignete
  Abbildungsverfahren;
- Lesen zeichnerischer Darstellungen räumlicher Gebilde;
- Beherrschen von Zeichentechniken.

Fachübergreifende Ziele:

  Die Schüler sollen befähigt werden zum
- Denken in räumlicher Anordnung (Raumvorstellung);
- Verwenden der Konstruktionszeichnung als ein in technischen
  Belangen der Sprache überlegenes Kommunikationsmittel;
- gewissenhaften, genauen und sauberen Arbeiten, selbstkritischen
  logischen Denken und präzisen sprachlichen Formulieren;
- Erkennen von Querverbindungen zur Mathematik, zur Informatik, zu
  den Naturwissenschaften, zur Technik und zur Bildenden Kunst;
- Weiterentwickeln ihrer graphischen Fähigkeiten.

Lehrstoff:

  Die bei den einzelnen Lernzielen und Lerninhalten angeführten
Tätigkeiten beschreiben jene speziellen Lernziele und Lerninhalte,
welche zum Erreichen der in der Bildungs- und Lehraufgabe
formulierten allgemeineren Ziele erforderlich sind.

  Mit ,,allenfalls'' sind jene Stoffgebiete bezeichnet, die
weggelassen werden können, ohne den weiteren Aufbau des Faches zu
beeinträchtigen. Die Reihenfolge der angeführten Stoffgebiete ist
eine Empfehlung und stellt keine Unterrichtsvorschrift dar.
Allerdings ist auf den aufbauenden Charakter des
Unterrichtsgegenstandes Darstellende Geometrie zu achten.

  Querverbindungen zu den Unterrichtsgegenständen Mathematik und
Bildnerische Erziehung bieten sich bei fast allen Stoffgebieten an.
Spezielle Querverbindungen zu anderen Unterrichtsgegenständen sind an
der betreffenden Stelle angegeben.

7. Klasse (2 Wochenstunden):

Lernziele und Lerninhalte:

Grundbegriffe:

  Anschauliches Vertrautmachen mit den Grundbegriffen der räumlichen
Geometrie und der Projektion als Abbildung. Kennenlernen und
Beherrschen der Eigenschaften der Parallelprojektion. Erfassen
räumlicher Objekte mit Hilfe eines kartesischen Rechtssystems.

Axonometrische Risse, Normalrisse in den Koordinatenebenen:

  Herstellen axonometrischer Risse durch koordinatenmäßiges Aufbauen
von ebenflächig begrenzten Körpern, insbesondere technischen Objekten
in einfacher Lage zu den Koordinatenebenen. Diskutieren
axonometrischer Angaben unter Hinweis auf den Satz von Pohlke.
Konstruieren von frontalaxonometrischen Rissen (Kavalierrissen) und
horizontalaxonometrischen Rissen (Militärrissen). Herleiten von
Grund-, Auf- und Kreuzriß (Hauptrisse) als Normalrisse. Anordnen der
Hauptrisse in der Zeichenebene. Konstruieren axonometrischer Risse
aus gegebenen Hauptrissen und umgekehrt.

  Herstellen von Querverbindungen zur Chemie und Physik (zB
Handskizzen von Versuchsanordnungen) und zur Biologie und Umweltkunde
(zB Kristallformen).

  Allenfalls: Gewinnen der Abbildungsgleichungen zur Herstellung von
axonometrischen Rissen und Parallelrissen.

Lösung stereometrischer Aufgaben in zugeordneten Normalrissen:

  Angittern in einer Ebene und Lösen von Schnittaufgaben und
Maßaufgaben unter Verwendung zugeordneter Normalrisse. Einsetzen von
Seitenrissen vornehmlich als Konstruktionsprinzip. Herstellen
zugeordneter Normalrisse von ebenflächig begrenzten Körpern in
allgemeiner Lage zu den Bildebenen.

  Allenfalls: Konstruieren der Netze von Objekten, die aus Prismen
oder Pyramiden bestehen.

  Allenfalls:  Ermitteln von Parallelschatten an ebenflächig
begrenzten Körpern.

Schnitte von Prismen- und Zylinderflächen:

  Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter Normalrisse von
Prismenflächen mit ebenen Schnitten. Punkt- und tangentenweises
Ermitteln ebener Schnitte von Zylinderflächen. Erarbeiten der durch
die parallelen Erzeugenden vermittelten Zuordnung zweier
Schnittebenen (Parallelperspektivität) und der perspektiven
Affinität. Anwenden auf Schnittaufgaben.

  Allenfalls: Konstruieren der Verschneidung von Objekten, die aus
Prismen oder Pyramiden bestehen.

Normalrisse von Kreisen und Kugelflächen:

  Ermitteln des Normalrisses von Kreisen. Konstruieren einer Ellipse
aus den Hauptscheiteln und einem Punkt. Herstellen des Zusammenhangs
mit der Brennpunktdefinition einer Ellipse. Arbeiten mit der
perspektiven Affinität einer Ellipse zu den Scheitelkreisen.
Herstellen der Normalrisse von durch ihren Leitkreis festgelegten
Drehzylinderflächen. Ermitteln des Normalrisses von Kugelflächen und
ihrer ebenen Schnitte. Erarbeiten der Begriffe Tangentialebene,
Kontur (wahrer Umriß) und Umriß (scheinbarer Umriß) krummer Flächen.

  Herstellen von Querverbindungen zur Geographie und Wirtschaftskunde
(Erdkugel) und Physik.

Schriftliche Arbeiten:

  Regelmäßig Hausübungen; ein Programm pro Semester (Ausführung als
Bleistift- und Tuschearbeit).

  Schularbeiten.

Didaktische Hinweise zur 7. Klasse:

Zu ,,Grundbegriffe'':

  Geraden und Ebenen sind als Punktmengen unter Verzicht auf
Axiomatik zu behandeln. Diskutieren von paralleler und normaler Lage.
Gegenüberstellen der Begriffe Strecke und Gerade, ebene Figur und
Ebene, Körper und Fläche. Anschauliches Entwickeln der grundlegenden
Eigenschaften der Parallelprojektion: Parallelentreue,
Teilverhältnistreue, insbesondere Mittelpunktstreue. Projizierende
Lage und Hauptlage von Geraden und Ebenen. Es genügt ein kurzer
Hinweis auf die Zentralprojektion; die Begriffe Fernpunkt und
Ferngerade bleiben zweckmäßigerweise der 8. Klasse vorbehalten.

Zu ,,Axonometrische Risse, Normalrisse in den Koordinatenebenen'':

  Axonometrische Risse und Hauptrisse sollen parallel zueinander
unter konsequenter Verwendung eines räumlichen kartesischen
Rechtssystems eingeführt werden. Entsprechend der Herleitung der
Hauptrisse in Zusammenhang mit axonometrischen Rissen ist es
zweckmäßig, auf die Verwendung von Rißachsen weitgehend zu verzichten
und nicht unbedingt die Zeichenebene mit einer Bildebene zu
identifizieren. Es sind nicht nur Schrägrisse in Koordinatenebenen zu
verwenden. Die normale Axonometrie bleibt der 8. Klasse vorbehalten.
Im Hinblick auf Anwendungen in der Technik erscheint es zweckmäßig,
auch mit gepaarten Normalrissen in nicht geordneter Lage zu arbeiten.

  Falls die Abbildungsgleichungen behandelt wurden und
Programmierkenntnisse der Schüler dies ermöglichen, kann auf die
Herstellung axonometrischer Risse ebenflächig begrenzter Körper mit
Hilfe eines PC hingewiesen werden.

Zu ,,Lösung stereometrischer Aufgaben in zugeordneten Normalrissen'':

  Es ist zweckmäßig, bei der konstruktiven Behandlung von Ebenen auf
die Verwendung von Spuren zu verzichten. Das Messen von Abständen und
Winkeln ist zuerst im Raum zu erklären und dann zu zeigen, daß die
konstruktive Behandlung der Maßaufgaben auf die Ermittlung der Länge
einer Strecke, auf die Ermittlung der Abmessungen einer ebenen Figur
durch Drehen der Ebene in eine Hauptebene und auf die aus dem Satz
vom rechten Winkel folgende Bedingung für die orthogonale Lage einer
Geraden und einer Ebene zurückgeführt werden kann. Zugeordnete
Normalrisse von ebenflächig begrenzten Körpern in allgemeiner Lage
sollen nur exemplarisch zur Einübung der Grundaufgaben und zur
Schulung des räumlichen Denkens eingesetzt werden. Besonders an
dieser Stelle sollen axonometrische Handskizzen zur Erarbeitung des
Konstruktionsganges benützt werden. Aufgaben sind zu vermeiden, die
nur durch besondere geometrische ,,Tricks'' lösbar sind.

  Schatten sollen die räumliche Gliederung von Objekten in der
Zeichnung betonen, sodaß sich vor allem ihre Konstruktion in
axonometrischen Rissen anbietet. Bei zugeordneten Normalrissen sollen
gebrochene Schatten auf verschiedene Bildebenen vermieden werden.

Zu ,,Schnitte von Prismen- und Zylinderflächen'':

  Es ist zweckmäßig, Prismen- und Zylinderflächen durch Bewegung
einer Geraden zu erzeugen. Die in diesem Stoffgebiet genannten
Abbildungen können schon früher erarbeitet werden. Die perspektive
Affinität ist auch anhand planimetrischer Aufgaben einzuüben; auf aus
dem Mathematikunterricht bekannte Sonderfälle der perspektiven
Affinität ist hinzuweisen.

Zu ,,Normalrisse von Kreisen und Kugelflächen'':

  Für Ellipsenkonstruktionen im Rahmen der Darstellenden Geometrie
empfiehlt sich die Verwendung eines perspektiv affinen Kreises.
Konjugierte Durchmesser der Ellipse sind der 8. Klasse vorbehalten.

  Die Begriffe Tangentialebene, Kontur und Umriß sollen allgemein
erläutert werden. Auf die Ermittlung der Konturpunkte von
Flächenkurven ist Wert zu legen.

  Wie bei jeder Flächenklasse sollte auch bei Kugelflächen zuerst die
bereits bei den Ebenen behandelte Vervollständigungsaufgabe gelöst
werden. Praxisnahe Aufgaben über Kugelflächen sind vorzuziehen.

8. Klasse (2 Wochenstunden):

Lernziele und Lerninhalte:

Parallelrisse von Ellipsen, von Drehzylinder-und Drehkegelflächen:

  Ermitteln des Parallelrisses von Ellipsen, insbesondere von
Kreisen. Arbeiten mit konjugierten Durchmessern, der Rytzschen
Achsenkonstruktion und der perspektiven Affinität einer Ellipse zu
einem Kreis. Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter
Normalrisse von Drehzylinder- und Drehkegelflächen sowie von
Drehzylinderflächen mit ebenen Schnitten.

  Allenfalls: Konstruieren zugeordneter Normalrisse von
Verschneidungen bisher behandelter Flächen vornehmlich mit
Drehzylinderflächen, deren Erzeugenden in einem Riß projizierend
sind.

  Allenfalls: Herstellen von Parallelrissen von Kreiszylinder- und
Kreiskegelflächen.

  Allenfalls: Konstruieren von Verebnungen drehzylindrischer und
drehkegelförmiger Objekte.

Normale Axonometrie:

  Herstellen normalaxonometrischer Risse von bisher behandelten
Kurven und Flächen und deren ebenen Schnitten. Arbeiten mit dem
Einschneideverfahren.

  Allenfalls: Ermitteln normalaxonometrischer Risse von
Verschneidungen bisher behandelter Flächen vornehmlich mit
Drehzylinderflächen, deren Erzeugenden zu einer Koordinatenachse
parallel sind.

  Allenfalls: Ermitteln der numerischen Bedingungen für eine
normalaxonometrische Angabe zur Vorbereitung der Konstruktion
normalaxonometrischer Risse mit Hilfe eines PC.

Ebene Schnitte von Pyramiden- und Kegelflächen:

  Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter Normalrisse von
Pyramidenflächen mit ebenen Schnitten. Punkt- und tangentenweises
Ermitteln ebener Schnitte von Kegelflächen. Einführen der Fernpunkte
von Geraden und der Ferngeraden von projektiv abgeschlossenen Ebenen.
Erarbeiten der durch die Erzeugenden vermittelten Zuordnung zweier
projektiv abgeschlossener Schnittebenen (Perspektivität) und der
perspektiven Kollineation. Anwenden auf Schnittaufgaben.

  Herstellen zugeordneter Normalrisse von ebenen Schnitten einer
Drehkegelfläche, deren Achse zu einer Bildebene parallel ist.
Ermitteln des Parallelrisses einer Parabel und einer Hyperbel.

  Herstellen von Querverbindungen zur Physik (zB Bahnen der
Himmelskörper).

  Allenfalls: Arbeiten mit der perspektiv kollinearen Abbildung
einer Ellipse, insbesondere eines Kreises.

  Allenfalls: Herstellen von Parallelrissen ebener Schnitte von
Kreiskegelflächen.

  Allenfalls: Konstruieren der Verebnung eines Drehkegelstumpfes.

Zentralprojektion:

  Anschauliches Vertrautmachen mit der Zentralprojektion als
Abbildung sowie mit den Begriffen Verschwindungsebene, Fluchtpunkt
und Fluchtgerade. Herstellen von Zentralrissen ebenflächig begrenzter
Körper bei horizontaler Blickachse. Diskutieren der Beziehungen
zwischen der geometrischen Zentralprojektion und dem Sehvorgang bzw.
der Fotografie.

  Allenfalls: kritisches Auseinandersetzen mit der Perspektive in
der Bildenden Kunst.

  Allenfalls: Ermitteln des Zentralrisses von Kreisen.

  Allenfalls: Behandeln der numerischen Perspektive als Grundlage
zur Herstellung von Zentralrissen mit Hilfe eines PC.

Wiederholung und Ausblick:

  Zusammenfassendes Überblicken, Wiederholen und Vertiefen der in der
Darstellenden Geometrie gelernten Methoden zur Analyse geometrischer
Formen. Anwenden dieser Methoden auf Vertreter mindestens einer der
folgenden Flächenklassen: Drehflächen (insbesondere einschalige
Drehhyperboloide, Drehparaboloide und Torusflächen), Schiebflächen
und Regelflächen (insbesondere Wendelflächen und HP-Flächen).

  Allenfalls: Herleiten von Parametrisierungen von Flächen der
genannten Art als Grundlage zur Herstellung von axonometrischen
Rissen mit Hilfe eines PC.

Schriftliche Arbeiten:

  Regelmäßig Hausübungen; ein Programm pro Semester (Ausführung als
Bleistift- oder Tuschearbeit).

  Schularbeiten.

Didaktische Hinweise zur 8. Klasse:

Zu ,,Parallelrisse von Ellipsen, von Drehzylinder-und
Drehkegelflächen'':

  Wenn Sätze der Kegelschnittslehre beweislos angeboten werden, so
ist auf diese Lücken hinzuweisen. Die Vervollständigungsaufgabe sowie
Tangenten und Tangentialebenen der angeführten Flächen sind zu
behandeln. Gegebenenfalls kann man sich auf die Ermittlung von
Normalrissen von Drehzylinder- und Drehkegelflächen beschränken.
Schnittellipsen sind nicht nur punkt- und tangentenweise zu
ermitteln; die in der 7. Klasse behandelten Abbildungen sind zu
verwenden. Auf die Ermittlung der Konturpunkte der Schnittellipsen
ist Wert zu legen.

  Von Schnittkurven krummer Flächen sind auch Tangenten zu ermitteln.
Bedingungen für das Zerfallen von Schnittkurven sind entweder
elementar zu begründen (zB Schnittkurve zweier gleich großer
Drehzylinderflächen mit schneidenden Achsen) oder als unbewiesene
Sätze anzugeben. Auf den Einsatz algebraischer Methoden unter
Verwendung des Ordnungsbegriffs für Raumkurven sollte man verzichten.
Auf praxisnahe Beispiele aus dem Bauwesen und aus dem Maschinenbau
ist Wert zu legen.

  Beim Konstruieren von Verebnungen können von den Leitkreisen
verschiedene Flächenkurven punkt- und tangentenweise abgewickelt und
aufgewickelt werden.

Zu ,,Normale Axonometrie'':

  Die normale Axonometrie ist im Anschluß an das Stoffgebiet
Axonometrie der 7. Klasse einzuführen; dabei sind die Verzerrungen
einer normalaxonometrischen Angabe konstruktiv zu ermitteln. Auf
Vorteile hinsichtlich der Kreisdarstellung und der Ermittlung des
Kugelumrisses ist hinzuweisen.

  Bezüglich der Schnittkurven krummer Flächen wird auf die
didaktischen Hinweise des vorhergehenden Stoffgebietes verwiesen.

Zu ,,Ebene Schnitte von Pyramiden- und Kegelflächen'':

  Es ist zweckmäßig, Pyramiden- und Kegelflächen durch Bewegung einer
Geraden zu erzeugen. Auf die Einordnung der perspektiven Affinitäten
unter die perspektiven Kollineationen sowie auf weitere aus dem
Mathematikunterricht bekannte Sonderfälle der perspektiven
Kollineationen ist hinzuweisen.

  Ebene Schnitte von Drehkegelflächen sind nicht nur punkt- und
tangentenweise zu ermitteln. Zum Nachweis von Parabel- und
Hyperbeleigenschaften können Hilfsmittel der Analytischen Geometrie
herangezogen werden. Wenn Sätze aus der Kegelschnittslehre beweislos
angeboten werden, so ist auf diese Lücken hinzuweisen.

  Gegebenenfalls genügt die Beschränkung auf in einem Riß
projizierende Schnittebenen. Auf die Ermittlung der Konturpunkte bei
ebenen Schnitten ist Wert zu legen.

  Beim Konstruieren von Verebnungen können vom Leitkreis verschiedene
Flächenkurven punkt- und tangentenweise abgewickelt und aufgewickelt
werden.

Zu ,,Zentralprojektion'':

  Auf die Behandlung des Doppelverhältnisses kann verzichtet werden.
Das Durchschnittsverfahren soll behandelt werden. Es ist zweckmäßig,
die aus der 7. Klasse bekannte axonometrische Methode, die auf dem
Einmessen von Koordinatenwegen in das Bild des Koordinatensystems
beruht, unter Benützung der Meßpunkte der Koordinatenachsen auch zur
Konstruktion von Zentralrissen heranzuziehen. Gegebenenfalls kann das
Verfahren durch Paralleldrehen von horizontalen oder von lotrechten
Ebenen vereinfacht werden.

  Der Zentralriß eines Kreises kann nach dem Durchschnittsverfahren
oder - falls diese Möglichkeit zur Verfügung steht - mit Hilfe der
perspektiven Kollineation zum Zentralriß des parallelgedrehten
Kreises konstruiert werden. Gegebenenfalls kann man sich auf punkt-
und tangentenweises Konstruieren des Zentralrisses eines Kreises
beschränken. Bei der Auswahl der Beispiele ist auf Praxisnähe zu
achten.

Zu ,,Wiederholung und Ausblick'':

  Beim zusammenfassenden Überblick ist die anwendungsorientierte
Seite der Darstellenden Geometrie zu betonen. Zu diesem Zweck können
Objekte aus der Erfahrungswelt der Schüler behandelt werden; dabei
ist auch auf die Ermittlung der zur Festlegung eines Objektes
notwendigen Maße zu achten. Aussagen der algebraischen Geometrie
sollten im zusammenfassenden Überblick nicht enthalten sein.

  Die ausgewählten Flächen sollen anhand exemplarischer Beispiele
besprochen werden. Dabei bieten sich insbesondere die
Vervollständigungsaufgabe, die Festlegung einer Tangentialebene, die
Umrißermittlung sowie die punkt- und tangentenweise Konstruktion von
Schnittkurven an. Bei der Wahl der Beispiele ist auf Praxisnähe zu
achten.

Didaktische Grundsätze:

  Die Grundbegriffe sollen möglichst von bekannten räumlichen
Objekten ausgehend erarbeitet werden, damit der Schritt von
unmittelbarer Objektbetrachtung zu selbständiger Raumvorstellung
erleichtert wird. Das räumliche Vorstellungsvermögen wird vor allem
geschult, wenn die Lösungsstrategien anhand der räumlichen
Gegebenheiten - nach Möglichkeit am Originalobjekt oder an einem
Modell - entwickelt und in der Konstruktionszeichnung nachvollzogen
werden. Die zunehmende Bedeutung des computerunterstützten
Konstruierens legt die konsequente Verwendung eines
Koordinatensystems nahe. Das Herstellen von Bildschirm- und
Plotterzeichnungen ist nicht Ziel des Unterrichtsgegenstandes
Darstellende Geometrie; jedoch können interessierten und
vorgebildeten Schülern Hilfestellungen zur Selbsttätigkeit auf diesem
Gebiet geboten werden. Zur Stützung der Raumanschauung empfiehlt es
sich, axonometrische Risse und Handskizzen durchgehend zu verwenden.

  Nur im Prinzip richtige Zeichnungen entsprechen nicht dem Lernziel.
Färbiges Hervorheben wichtiger Konstruktionsteile ist gegebenenfalls
zweckmäßig. Eine saubere und gefällige Ausführung der Arbeiten ist
anzustreben. Die Schüler sind zur Verwendung verschiedener
Linienbreiten und Linienarten sowie zur sauberen und sinnvollen
Beschriftung anzuhalten und sollen zur laufenden Kontrolle der
Zeichengenauigkeit gebracht werden.

  Der Darstellung von Objekten ist der Vorzug gegenüber theoretischen
Aufgaben zu geben, und der problemlösende Aspekt der Darstellenden
Geometrie ist zu betonen. Bei technischen Objekten ist darauf zu
achten, daß einerseits die auftretenden geometrischen Formen nicht zu
kompliziert sind und andererseits zu häufige Wiederholungen
gleichartiger Konstruktionen vermieden werden. Es sollen auch das
ästhetische Empfinden geschult und die Freude an der Form gefördert
werden.

  Bei Programmentwürfen ist auf die Kreativität besonderer Wert zu
legen. Bei schriftlichen Arbeiten soll das Format A 3 nicht
überschritten werden.

  Aus der Mathematik vertraute Begriffe sind auch im Unterricht der
Darstellenden Geometrie zu verwenden (zB: Abbildungsbegriff, Symbole
aus der Mengenlehre, Tangentenbegriff).

  Zwar ist bei Beweisführungen die konstruktive Denkweise zu
bevorzugen, es können jedoch zur Zeitersparnis Kenntnisse aus der
Analytischen Geometrie herangezogen werden.

  Spezielle didaktische Hinweise befinden sich im Anschluß an die
Auflistung der Stoffgebiete der jeweiligen Klasse.

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