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Übersicht Oberstufe
Wahlpflichtgegenstand Mathematik
Mathematik am Realgymnasium
Mathematik am Oberstufenrealgymnasium mit ergänzendem Unterricht in Biologie und Umweltkunde, Physik sowie Chemie und am Oberstufenrealgymnasium mit Darstellender Geometrie
Allgemeiner Teil des Lehrplans
Bildungs- und Lehraufgabe:
Der Unterricht in Mathematik soll zum Erreichen der folgenden Ziele
beitragen, die sowohl fachspezifische wie fächerübergreifende Aspekte
enthalten:
Mathematisches Wissen und Können.
Die Schüler sollen
- grundlegende Kenntnisse, Fertigkeiten, Fähigkeiten und Einsichten
in den Stoffgebieten Algebra, Geometrie, Analysis und Stochastik
erwerben und verwenden können,
- mit mathematischen Methoden und Denkweisen vertraut werden,
- ein Bild der Mathematik gewinnen, das Verfahrens-, Problem-,
Anwendungs- und Theorieaspekte ausgewogen repräsentiert,
- mit der Verwendung geeigneter mathematischer Texte und
Arbeitsmittel, insbesondere elektronischer Rechengeräte vertraut
werden.
Anwenden von Mathematik.
Die Schüler sollen
- ihr mathematisches Wissen und Können in verschiedenen Bereichen,
insbesondere in solchen, die zu ihrer Lebens- und Wissenswelt Bezug
haben, anwenden können,
- Mathematik als nützliches Werkzeug zur Lösung von Alltagsproblemen
erkennen,
- Einsichten in Probleme des Anwendens von Mathematik - wie Probleme
des Bildens von mathematischen Modellen - gewinnen.
Allgemeine mathematische Fähigkeiten.
Im Zusammenhang mit dem Erwerb von mathematischem Wissen und Können
und dem Anwenden von Mathematik sind folgende Lernziele anzustreben:
- Argumentieren und exaktes Arbeiten.
Insbesondere: präzises Beschreiben von Sachverhalten, Eigenschaften
und Begriffen (Definieren); Arbeiten unter bewußter Verwendung von
Regeln; Begründen (Beweisen); Vollständigkeit einer Argumentation
überblicken; Erkennen logischer Strukturen; Rechtfertigen von
Entscheidungen (etwa der Wahl eines Lösungsweges oder einer
Darstellungsform).
- Darstellen und Interpretieren.
Insbesondere: verbales, formales und graphisches Darstellen von
Sachverhalten; Deuten von formalen Begriffen durch Belegen mit
Vorstellungen und Inhalten; Wechseln von Darstellungsformen;
Herauslesen von Eigenschaften und Beziehungen aus Darstellungen.
- Produktives geistiges Arbeiten.
Insbesondere: Kombinieren von vertrauten Methoden; Analysieren von
Problemen, Begründungen, Darstellungen oder mathematischen
Objekten; Anwenden bekannter Verfahren in teilweise neuartigen
inner- oder außermathematischen Situationen; Abstrahieren und
Konkretisieren, Verallgemeinern und Spezialisieren, Analogisieren
und Kontrastieren.
- Kritisches Denken.
Insbesondere: Überprüfung von Vermutungen, von Ergebnissen;
Erkennen von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen; Erkennen
der beschränkten Gültigkeit von Aussagen, Feststellen von
Voraussetzungen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer
Modelle.
Reflektieren über Mathematik und mathematische Arbeitsweisen.
Die Schüler sollen beispielsweise
- Probleme des Definierens, Beweisens, der Exaktheit erkennen,
- Problemlösestrategien bewußt verwenden,
- die Veränderlichkeit mathematischer Begriffe in der historischen
und in der persönlichen Entwicklung kennenlernen,
- Beziehungen und Abgrenzungen zu anderen Erlebens- und
Wissensbereichen herstellen,
- sich mit der Bedeutung mathematischen Tuns für sie selbst
auseinandersetzen.
Persönlichkeits- und Sozialentwicklung.
Die Schüler sollen befähigt werden
- sorgfältig, konzentriert, planmäßig und überlegt zu arbeiten,
- gesetzmäßig zu denken, klare Begriffe zu bilden, sinnvolle Fragen
zu stellen sowie kontrolliert zu abstrahieren und zu
verallgemeinern,
- Informationsquellen sachgerecht zu nutzen,
- selbständig Wissen zu erwerben,
- Darstellungsformen, die zur Beschreibung konkreter wie abstrakter
Sach- und Denkverhalte erforderlich sind, zu verwenden oder zu
entwickeln,
- mit rationalen Denkweisen Situationen zu untersuchen und Probleme
sachgerecht zu bearbeiten, dabei aber Grenzen des Anwendens solcher
Denkweisen zu erkennen,
- Einsichten in grundlegende wissenschaftliche Verfahrensweisen und
Denkvorstellungen zu gewinnen,
- kritisches Denken zu entwickeln und gegenüber verschiedenen
Standpunkten und Sichtweisen offen zu sein,
- ihre Kommunikationsfähigkeit zu entwickeln,
- sowohl selbständig als auch kooperativ zu arbeiten,
- Freude an kreativem Verhalten und intellektuellen Leistungen zu
gewinnen.
Lehrstoff:
Bei den einzelnen Stoffgebieten sind Tätigkeiten angeführt, die
einerseits Ziele der Bildungs- und Lehraufgabe konkretisieren,
andererseits die Lernziele für die einzelnen Stoffgebiete festlegen.
Diese Tätigkeiten sind von den Schülern durchzuführen; im Falle
grundlegender Kenntnisse und Fertigkeiten ist ein hohes Maß an
Vertrautheit bzw. Sicherheit anzustreben. Tätigkeiten, die
durch ,,Allenfalls'' gekennzeichnet sind, dienen zur Setzung von
Schwerpunkten, müssen im Unterricht aber nicht durchgeführt werden.
Im Falle einer Behandlung im Unterricht erhalten diese Inhalte die
gleiche Wertigkeit wie die nicht mit ,,Allenfalls'' gekennzeichneten.
Die Reihenfolge, in der die einzelnen Schüleraktivitäten angegeben
sind, entspricht einer gewissen systematischen Darstellung, ist aber
keine methodische Festlegung und für den Unterricht nicht
verbindlich. Vielmehr ist ein sinnvolles Verbinden verschiedener
Tätigkeiten und verschiedener Aspekte eines Stoffgebietes
wünschenswert.
Im Anschluß an Gruppen von Teillernzielen sind - in Klammern
gesetzt (-> . . .) - jene fachspezifischen und fächerübergreifenden
Ziele der Bildungs- und Lehraufgabe angeführt, die durch diese
Teillernziele konkretisiert werden sollen.
5. Klasse (3 Wochenstunden,
am Oberstufenrealgymnasium mit Instrumentalunterricht oder mit
Bildnerischem Gestalten und Werkerziehung 4 Wochenstunden):
Funktionen, Formeln, Gleichungen
Die in den vorangegangenen Schulstufen erworbenen Fähigkeiten im
Darstellen und Untersuchen von funktionalen Zusammenhängen sollen
gefestigt werden. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem
Aufstellen, Interpretieren und Umformen von Formeln sowie dem
Arbeiten mit graphischen Darstellungen zu. In Verbindung mit einer
Thematisierung des Funktionsbegriffes sollen die Schüler erkennen,
daß der Begriff der reellen Funktion eine gemeinsame Sicht vieler
Sachverhalte ermöglicht. Einige einfache Typen reeller Funktionen
sollen untersucht werden. Dabei kann der Einsatz von Rechengeräten
zweckmäßig sein. Ferner bestehen Möglichkeiten, die Fertigkeiten im
Arbeiten mit Gleichungen und Ungleichungen auszubauen.
Beschreiben und Untersuchen von Abhängigkeiten und Zusammenhängen;
Definieren des Begriffes der reellen Funktion:
Darstellen von Abhängigkeiten und Zusammenhängen innerhalb und
außerhalb der Mathematik, etwa durch Tabellen, Mengen von
Zahlenpaaren, verbale Berechnungsvorschriften, Terme, Gleichungen
(Formeln), Diagramme, insbesondere Punktdiagramme. Erkennen, daß
Abhängigkeiten und Zusammenhänge häufig als eindeutige Zuordnungen
zwischen Zahlenmengen aufgefaßt werden können. Definieren des
Begriffes der (einstelligen) reellen Funktion. Formales Beschreiben
(Definieren) der Monotonie in Verbindung mit anschaulichen
Vorstellungen und Arbeiten mit dieser Definition.
(-> Grundlegende mathematische Kenntnisse, Darstellen, Produktives
Arbeiten, Exaktes Arbeiten, Anwenden von Mathematik)
Erkennen von Problemen beim Modellbilden:
Erkennen des Modellcharakters mathematischer Beschreibungen
außermathematischer Situationen. Erkennen und Beurteilen der bei der
Bildung mathematischer Modelle meist auftretenden Vereinfachungen,
Idealisierungen und Annahmen. Insbesondere kritisches Vergleichen des
Definitionsbereiches, der Funktionswerte der Modellfunktion, des
Graphen der Funktion, der Annahmen über Proportionalität bzw.
Linearität und der Lösungen mit der Realsituation. Wissen, daß ein
reales Problem manchmal durch verschiedene mathematische Modelle
beschrieben und gelöst werden kann und daß umgekehrt verschiedene
Situationen mit dem gleichen Modell beschrieben werden können.
(-> Anwenden von Mathematik, Produktives Arbeiten, Kritisches
Denken, Reflektieren über Mathematik)
Lineare Funktionen:
Begründen, daß eine lineare Funktion durch eine Gerade dargestellt
werden kann. Kennen von inner- und außermathematischen Deutungen der
Steigung. Kennen des Zusammenhanges von direkter Proportionalität und
linearer Funktion. Anwenden von linearen Funktionen beim Bearbeiten
von außermathematischen Problemen (etwa aus Wirtschaft und Physik).
(-> Grundlegende mathematische Kenntnisse, Darstellen und
Interpretieren, Anwenden von Mathematik, Kritisches Denken)
Einige nichtlineare reelle Funktionen, insbesondere Funktionen der
Art f(x) = cx hoch 2, f(x) =c/x, f(x) =c/x hoch 2 und abschnittsweise
termdefinierte Funktionen:
Darstellen auf verschiedene Arten. Untersuchen von Funktionstypen,
Skizzieren von Graphen, Beschreiben von Eigenschaften (etwa
Monotonieverhalten). Zuordnen bekannter Funktionstypen zu
vorgegebenen Graphen. Anwenden solcher Funktionen in
außermathematischen Bereichen.
Allenfalls Darstellen und Untersuchen von Funktionen der Form f(x)
= ax hoch 2 + bx + c
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Produktives Arbeiten, Anwenden von Mathematik)
Untersuchen von Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte:
Insbesondere Untersuchen folgender Fragen: Wie ändert sich eine
Größe, wenn sich eine andere Größe in bestimmter Weise ändert?
Bestehen Proportionalitäten (etwa: indirekt proportional,
proportional zum Quadrat)? Von welchem Typ ist der Zusammenhang
zweier Größen (etwa: linear, quadratisch)? Wie läßt sich der
Zusammenhang zweier Größen graphisch darstellen?
Allenfalls Verwenden des Begriffs der mehrstelligen reellen
Funktion (Funktion mehrerer Variablen).
(-> Grundlegende Fähigkeiten, Argumentieren, Darstellen und
Interpretieren)
Verallgemeinern des Funktionsbegriffes:
Etwa Definieren als eindeutige Zuordnung zwischen beliebigen
Mengen. Angeben von Beispielen.
Allenfalls Kennen der Veränderung des Funktionsbegriffes in der
geschichtlichen Entwicklung.
(-> Grundlegende Einsichten, Reflektieren über Mathematik)
Allenfalls Präzisieren des Begriffes der Zuordnung:
Wissen, daß Zuordnungen mit Hilfe von Mengen als Relationen
definiert werden können. Erkennen der Funktionen als Sonderfälle der
Relationen.
(-> Exaktes Arbeiten, Reflektieren über Mathematik)
Rechengesetze, Gleichungen in einer Variablen, Ungleichungen
Kenntnisse und Fertigkeiten aus der elementaren Algebra sollen
wiederholt, gefestigt, erweitert und zusammenfassend betrachtet
werden. Dabei stehen formale Gesichtspunkte im Vordergrund. Eine
Verbindung mit dem Arbeiten mit Formeln und Funktionen ist
wünschenswert.
Die Zahlbereiche N, Z, Q, R:
Kennen von Eigenschaften, überblicksartiges Betrachten; Darstellen
dieser Zahlen, dabei auch Darstellen in der Gleitkommaschreibweise
(Zehnerpotenzschreibweise mit Exponenten aus Z).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Einsichten)
Arbeiten mit Rechengesetzen (Rechenregeln):
Formulieren von Rechengesetzen (Rechenregeln), die beim Umformen
von Termen, Gleichungen, Formeln und Ungleichungen auftreten;
Begründen einzelner Rechenschritte durch Rechenregeln.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Exaktes Arbeiten)
Quadratische Gleichungen in einer Variablen:
Herleiten einer Lösungsformel, Lösen von Gleichungen. Anwenden bei
inner- und außermathematischen Problemen. Zerlegen eines
quadratischen Polynoms in Linearfaktoren.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Anwenden von
Mathematik, Produktives Arbeiten)
Einfache Gleichungen mit variablen Koeffizienten:
Lösen; Untersuchen von Lösungsfällen.
Allenfalls Formulieren bzw. Darstellen von Lösungsalgorithmen.
(-> Grundlegende Fertigkeiten, Exaktes Arbeiten, Darstellen)
Ungleichungen:
Beschreiben von Zahlenmengen, insbesondere von Intervallen und
Umgebungen, in Verbindung mit geometrischen Darstellungen; dabei
Arbeiten mit dem Betrag von reellen Zahlen. Aus Schranken für
gegebene Größen Schranken für daraus berechenbare Größen ermitteln,
Abschätzen der Genauigkeit von Rechenergebnissen. Beschreiben des
Monotonieverhaltens von Funktionen mit Ungleichungen, Beweisen des
Monotonieverhaltens in einfachen Fällen.
Allenfalls Lösen von Ungleichungen mit Fallunterscheidungen (etwa
quadratische Ungleichungen, Bruchungleichungen,
Betragsungleichungen).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Grundgesetze für das Rechnen mit rationalen und reellen Zahlen:
Wissen, daß die Gesetze für das Rechnen mit rationalen bzw. reellen
Zahlen aus wenigen Grundgesetzen (Axiomen) hergeleitet werden können.
Durchführen einfacher Herleitungen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Logische Begriffe und Mengen
Ziel ist ein Reflektieren über logische Begriffe und logische
Beziehungen, die in verschiedenen mathematischen Zusammenhängen und
auch in umgangssprachlichen Formulierungen auftreten. Dabei sollen
die Schüler die in der Mathematik üblichen Regeln für den Gebrauch
dieser Begriffe und Beziehungen in Abhebung vom Gebrauch in der
Umgangssprache kennenlernen und diese Begriffe und Beziehungen in
verschiedenen mathematischen Bereichen anwenden.
Arbeiten mit logischen Begriffen:
Präzisieren des Gebrauchs folgender Begriffe: ,,und'', ,,oder'',
,,wenn ... dann'', ,,genau dann ... wenn''; Erkennen des Auftretens
entsprechender Aussagen und Beziehungen in unterschiedlichen,
vorwiegend mathematischen Situationen. Verneinen von Aussagen,
insbesondere von Und-, Oder-, All- und Existenzaussagen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Erkennen logischer Strukturen,
Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Definieren und Anwenden der Begriffe Gleichheit von Mengen,
Teilmenge, Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge:
Kennen des Zusammenhanges mit entsprechenden logischen Begriffen.
Anwenden dieser Begriffe zum Beschreiben mathematischer Sachverhalte.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Allenfalls Beweisen von Gesetzen der Aussagenlogik bzw. der
Mengenalgebra mit Wahrheits- oder Zugehörigkeitstafeln.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Produktives Arbeiten)
Lineare Algebra und lineare analytische Geometrie
Die Entwicklung der linearen Algebra soll im Zusammenhang mit
Fragen erfolgen, die einerseits aus der Geometrie und andererseits
aus Anwendungsgebieten wie Wirtschaft, Physik usw. stammen. Lineare
Gleichungssysteme und Vektoren sollen in erster Linie als effiziente
Werkzeuge zur Lösung von Problemen und zur Darstellung von
Zusammenhängen aus diesen Bereichen erscheinen.
Die Schüler sollen mit Vektoren sowohl unter algebraischen als auch
unter geometrischen Gesichtspunkten arbeiten. Einerseits sollen sie
erkennen, daß mit Vektoren ähnlich wie mit Zahlen gerechnet werden
kann und daß Vektoren ein Mittel sein können, um komplexere
Rechenoperationen, Begriffe und Beziehungen einfach darzustellen und
gegebenenfalls ins Höherdimensionale zu übertragen. Andererseits
sollen die Schüler Vektoren als ein Mittel zum Beschreiben von
geometrischen Sachverhalten und Lösungswegen verwenden. Das Denken in
geometrischen Vorstellungen, die mit Vektoren verbunden sind, kann
eine Hilfe beim Lösen geometrischer Probleme sein. In der Geometrie
soll auch der Vorteil einer einheitlichen Behandlung von Ebene und
Raum angedeutet werden.
Gegenseitiges Zuordnen von Zahlenpaaren bzw. Zahlentripeln und
geometrischen Objekten (Punkte, Pfeile, allenfalls Pfeilklassen oä.).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Addieren von Vektoren, Multiplizieren von Vektoren mit reellen
Zahlen, Rechnen mit dem skalaren (inneren) Produkt von Vektoren:
Ausführen dieser Rechenoperationen für Zahlen-n-Tupel. Herstellen
von Zusammenhängen zwischen Rechenoperationen (Beziehungen) im R2
bzw. R3 und geometrischen Operationen (Beziehungen) in der Ebene bzw.
im Raum (im Falle des Skalarproduktes eingeschränkt auf das
Normalstehen von Vektoren in der Ebene). Berechnen des Betrages eines
Vektors. Darstellen von Sachverhalten aus Anwendungsgebieten (etwa
Physik, Wirtschaft) mit Hilfe dieser Rechenoperationen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Rechengesetze für Vektoren:
Erkennen, Formulieren, Beweisen und bewußtes Anwenden.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Produktives Arbeiten, Darstellen,
Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Darstellen von Geraden der Ebene und des Raumes in Parameterform:
Erläutern, wie man mit Hilfe eines Punktes und eines
Richtungsvektors einzelne Punkte (etwa Mittelpunkt oder
Teilungspunkte einer Strecke) oder auch alle Punkte einer Geraden
erfassen kann. Bestimmen einer Parameterdarstellung zu einer
gegebenen Geraden, Zeichnen einer in Parameterform gegebenen Geraden.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Darstellen von Geraden der Ebene durch lineare Gleichungen in zwei
Variablen:
Erläutern allgemeiner Zusammenhänge zwischen einer Geraden in einer
Ebene und einer linearen Gleichung in zwei Variablen. Aufstellen
einer linearen Gleichung zu einer gegebenen Geraden, Zeichnen einer
durch eine lineare Gleichung gegebenen Geraden.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren)
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen:
Lösen; geometrisches Deuten möglicher Lösungsfälle. Angeben und
Anwenden von Kriterien für die einzelnen Lösungsfälle.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Argumentieren und
exaktes Arbeiten)
Bearbeiten von geometrischen Problemen in der Ebene mit algebraischen
Methoden:
Lösen von Lage- und Maßaufgaben unter Heranziehung von Kenntnissen
über Vektoren sowie über lineare Gleichungen und Gleichungssysteme;
nach Möglichkeit Verbinden von rechnerischen mit konstruktiven
Lösungen. Beschreiben von Lösungswegen (unter Umständen auch ohne
Durchführen der Rechnungen), gegebenenfalls Begründen des Vorgehens.
Aufstellen einfacher Vektorformeln.
Allenfalls Beweisen geometrischer Sachverhalte bzw.
Auseinandersetzen mit solchen Beweisen
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen und Interpretieren,
Argumentieren)
Anwenden von Gleichungssystemen mit zwei Variablen zum Bearbeiten von
inner- und außermathematischen Problemen:
Dabei auch selbständiges Auseinandersetzen mit Texten. Kritisches
Betrachten von Annahmen (wie Linearität, Proportionalität usw.) und
der Lösungen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen, Anwenden von Mathematik,
Kritisches Denken)
Darstellen und Analysieren von Daten und Beziehungsstrukturen
Anhand von Methoden der Beschreibenden Statistik - die zT schon in
vorhergehenden Klassen behandelt wurden - und unter Verwendung von
Punkt-Kanten-Graphen soll vor allem der Darstellungsaspekt der
Mathematik betont werden. Das Ergebnis entsprechender Aufgaben wird
oft eine Problemdarstellung, nicht immer eine Problemlösung sein. Ein
kritischer Umgang mit Darstellungsformen und ihren Interpretationen
ist anzustreben. Wegen ihres offenen Charakters eignen sich diese
Inhalte besonders für projektorientierten Unterricht.
Beschreiben und Untersuchen von Sachverhalten mit Methoden der
Beschreibenden Statistik:
Verwenden von Darstellungsformen und Kennzahlen der ein- und
zweidimensionalen Datenanalyse.
(-> Darstellen und Interpretieren, Anwenden von Mathematik,
Kritisches Denken)
Beschreiben und Untersuchen von Problemsituationen mit
Punkt-Kanten-Graphen.
Exemplarisches Darstellen von Situationen in sozialen,
wirtschaftlichen oder anderen Bereichen mittels gerichteter oder
ungerichteter (eventuell auch bewerteter) Graphen. Verwenden solcher
Darstellungen zum Untersuchen und gegebenenfalls auch zum Lösen
einfacher Probleme.
Allenfalls Benützen einfacher Begriffe der Graphentheorie (etwa
Weg, Zusammenhang, Grad, chromatische Zahl).
(->Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren, Anwenden
von Mathematik, Kritisches Denken)
Projektorientierter Unterricht
Unter Berücksichtigung von Interessen der Schüler ist ein
Sachverhalt mit mathematischen Verfahren zu untersuchen, um dadurch
einen vertieften Einblick in diesen Sachverhalt zu gewinnen. Dabei
sollen die Schüler auch Erfahrungen im sozialen Lernen erwerben. In
erster Linie sollte dabei ein Thema aus einem außermathematischen
Sachbereich (etwa Alltagsprobleme, Sozialbereiche, Umwelt,
Wirtschaft, Naturwissenschaften) behandelt werden. Eine Integration
in eines der Stoffgebiete dieser Klasse ist wünschenswert. Nach
Möglichkeit sollte auch eine Zusammenarbeit mit anderen
Unterrichtsgegenständen angestrebt werden.
Schritte eines projektorientierten Unterrichts können sein:
- Analysieren des ausgewählten Sachverhaltes
- Erstellen eines Arbeitsplans
- Einholen von Informationen, Sammeln von Daten
- Auswählen und Anwenden situationsgerechter mathematischer Verfahren
- Darstellen und Präsentieren der Ergebnisse
- Kritisches Betrachten der Verfahren und der Ergebnisse, Diskutieren
von Problemen der mathematischen Modellbildung
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
6. Klasse (3 Wochenstunden):
Potenzen mit ganzzahligen, rationalen und reellen Exponenten,
Logarithmen
Die Schüler lernen hier ein Beispiel einer Begriffserweiterung
kennen und haben anhand der Entwicklung von Rechenregeln Gelegenheit
zum Aufstellen und Überprüfen von Vermutungen und zum Beweisen. Das
Arbeiten mit diesen Regeln kann auf einfache Anwendungen
eingeschränkt werden. Verbindungen zum Thema ,,Grenzprozesse und
reelle Zahlen'' können in mehrfacher Weise hergestellt werden.
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, Wurzeln und Potenzen mit
rationalen Exponenten:
Kennen der Definitionen, Angeben von Gründen für deren
Zweckmäßigkeit. Erkennen, Formulieren und Beweisen von
Rechengesetzen. Umformen von Ausdrücken in dem für spätere
Anwendungen erforderlichen Ausmaß. Analysieren der Rechenstruktur von
Termen, Begründen einzelner Umformungsschritte durch Rechengesetze.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Reflektieren über
Mathematik, Produktives Arbeiten, Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Arbeiten mit Zahlen in Gleitkommadarstellung:
Insbesondere Abschätzen der Größenordnung von Ergebnissen.
Allenfalls Untersuchen der begrenzten Gültigkeit bekannter
Rechengesetze beim Rechnen mit Maschinenzahlen.
(-> Grundlegende Fähigkeiten, Anwenden von Mathematik, Kritisches
Denken)
Potenzen mit reellen Exponenten:
Aufgrund einer plausiblen Erläuterung oder einer strengeren
Definition erkennen, daß Rechenregeln für Potenzen mit rationalen
Zahlen auch für Potenzen mit reellen Zahlen gelten.
(-> Grundlegende Kenntnisse)
Logarithmen:
Definieren von Logarithmen; Formulieren und Herleiten von
Rechengesetzen; Lösen von Exponentialgleichungen der Form
a hoch x = b (etwa beim Untersuchen von Wachstumsprozessen).
Allenfalls Kennen der (historischen) Bedeutung der Logarithmen
(Logarithmentafel, Rechenstab).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen,
Argumentieren, Produktives Arbeiten, Anwenden von Mathematik)
Allenfalls Wurzelgleichungen:
Lösen; dabei Arbeiten mit Gleichungsumformungen, die keine
Äquivalenzumformungen sind.
(-> Exaktes Arbeiten, Kritisches Denken)
Grenzprozesse und reelle Zahlen
Dieses Thema soll zur Einführung in die Analysis dienen. Die
Behandlung kann darauf beschränkt werden, daß die Schüler mit
Grenzprozessen vertraut werden, eine Möglichkeit einer präzisierten
Beschreibung solcher Grenzprozesse kennenlernen und vertiefte
Einsichten in das Wesen der reellen Zahlen gewinnen.
Näherungsweises Berechnen:
Etwa von Wurzeln, Nullstellen von Polynomfunktionen,
Flächeninhalten.
(-> Grundlegende Fertigkeiten)
Unbegrenzte Näherungen:
Gewinnen eines intuitiven Begriffes ,,unbegrenzte Näherung'' aus
Beispielen, insbesondere aus Verfahren, die sich aus näherungsweisen
Berechnungen ergeben, und aus Zahlenfolgen. Präzisieren des Begriffes
,,unbegrenzte Näherung'', etwa durch zweiseitige Einschränkung mit
beliebiger Genauigkeit oder durch den Grenzwert von Zahlenfolgen.
Interpretieren des präzisierten Begriffes durch anschauliche
Darstellung, durch Beispiele oder durch vereinfachte verbale
Darstellung.
(-> Exaktes Arbeiten, Darstellen und Interpretieren)
Vollständigkeit der reellen Zahlen:
Wissen, daß sich die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen durch
die ,,Vollständigkeit'' unterscheiden; Formulieren eines
entsprechenden Axioms.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Exaktes Arbeiten)
Allenfalls Untersuchen der Existenz von Wurzeln, Herleiten der
Formeln von Flächeninhalt und Umfang des Kreises.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Trigonometrie
Über den Erwerb grundlegender Kenntnisse hinaus sollen durch
verschiedenartige Anwendungen - vorwiegend im Zusammenhang mit
Berechnungen an rechtwinkeligen Dreiecken - Möglichkeiten zum
produktiven Arbeiten und auch zur Entwicklung des räumlichen
Vorstellungsvermögens geschaffen werden. Anwendungen des Sinussatzes
und des Cosinussatzes können auf wenige Beispiele eingeschränkt
werden.
Definieren der Winkelfunktionswerte, einfaches Handhaben:
Definieren von sin, cos, tan. Bestimmen von Funktionswerten zu
vorgegebenen Winkelmaßen und von Winkelmaßen zu vorgegebenen
Funktionswerten.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten)
Anwenden der Winkelfunktionen in rechtwinkeligen Dreiecken:
Durchführen von Berechnungen an ebenen und räumlichen Figuren in
inner- und außermathematischen Bereichen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten, Produktives Arbeiten,
Anwenden von Mathematik)
Anwenden der Winkelfunktionen in beliebigen Dreiecken:
Erkennen, daß man durch Zerlegen von beliebigen Dreiecken in
rechtwinkelige Dreiecke Formeln gewinnen kann, die Berechnungen an
solchen Dreiecken erleichtern. Kennen des Sinussatzes, des
Cosinussatzes und der trigonometrischen Flächenformel.
Allenfalls Herleiten dieser Formeln. Anwenden bei inner- und
außermathematischen Problemen. Entwerfen von Algorithmen zur
Auflösung von Dreiecken.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Produktives Arbeiten, Anwenden von
Mathematik)
Polarkoordinaten:
Umrechnen von Polarkoordinaten in cartesische Koordinaten und
umgekehrt.
Allenfalls Anwenden bei Vermessungsaufgaben
(-> Grundlegende Fertigkeiten, Anwenden von Mathematik)
Allenfalls Abschätzen der Genauigkeit von Berechnungen:
Aus Schranken für gegebene Größen sollen Schranken für daraus
berechenbare Größen bestimmt werden.
(-> Exaktes Arbeiten, Kritisches Denken)
Allenfalls Kennen von Additionstheoremen
(-> Vertiefte Kenntnisse)
Lineare Algebra und lineare analytische Geometrie
Fähigkeiten im Arbeiten mit Vektoren und linearen Gleichungen mit
drei Unbekannten sollen Voraussetzungen für die Behandlung von
geometrischen Problemen im Raum sein. Dabei bestehen vielfältige
Möglichkeiten für produktives Arbeiten und zur Entwicklung des
räumlichen Anschauungsvermögens.
Skalarprodukt und Winkel:
Bestimmen von Normalvektoren im Raum, Untersuchen von
Orthogonalitäten. Berechnen von Winkeln zwischen zwei Geraden, zwei
Ebenen sowie zwischen einer Geraden und einer Ebene.
(-> Grundlegende Fertigkeiten)
Ebenen und lineare Gleichungen in drei Variablen:
Erläutern von Zusammenhängen zwischen Ebenen und linearen
Gleichungen. Untersuchen von Lagebeziehungen zwischen Ebenen,
Berechnen von Schnittpunkten und Schnittgeraden. Insbesondere Lösen
von Systemen von drei Gleichungen mit eindeutiger Lösung und von
Systemen von zwei Gleichungen mit einparametriger Lösungsmenge.
Allenfalls Erläutern, wie man mit Hilfe eines Punktes und zweier
Richtungsvektoren alle Punkte einer Ebene erfassen kann
(Parameterdarstellung einer Ebene).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Bearbeiten geometrischer Probleme im Raum mit algebraischen Methoden:
Lösen von Lage- und Maßaufgaben - auch an Körpern - nach
Möglichkeit in Verbindung mit zeichnerischen Darstellungen.
Beschreiben von Lösungswegen (unter Umständen auch ohne Durchführung
der Rechnungen), gegebenenfalls Begründen des Vorgehens. Aufstellen
einfacher Vektorformeln.
Allenfalls Beweisen geometrischer Sachverhalte bzw.
Auseinandersetzen mit solchen Beweisen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen und Interpretieren)
Allenfalls Reflektieren über Geometrie:
Erkennen von Beziehungen und Unterschieden zwischen idealen
geometrischen und entsprechenden realen Objekten. Kennen der
Bedeutung von Grundgesetzen (Axiomen), einfaches Herleiten von Sätzen
aus den Grundgesetzen.
(-> Vertiefte Kenntnisse, Reflektieren über Mathematik)
Reelle Funktionen
Durch das Arbeiten mit neuen Typen reeller Funktionen sollen die
Schüler den Funktionsbegriff besser erfassen und es sollen weitere
Anwendungsmöglichkeiten erschlossen werden. Dabei steht die
Untersuchung einzelner Funktionen nicht allein im Vordergrund,
wesentlich sind auch vergleichende Betrachtungen (Erkennen von
Gemeinsamkeiten und Unterschieden). Außer den bereits bekannten
Funktionen sind in erster Linie die Funktionen der Art f(x) = c.a
hoch x, f(x) = c.sin x und f(x) = c.cos x zu behandeln. Darüber
hinaus kann auch - vor allem im Zusammenhang mit Anwendungen - mit
weiteren Funktionen, etwa der Art f(x) = c.x hoch r (mit r E
N, Z, Q), f(x) = c.a hoch kx, f(x) = c.logx, f(x) = c.sin(ax+b) und
f(x) = tanx, gearbeitet werden. Zur Bildung diskreter Modelle sollen
Zahlenfolgen verwendet werden. Der Einsatz von Rechengeräten kann
zweckmäßig sein.
Arbeiten mit reellen Funktionen, Untersuchen von Eigenschaften:
Graphisches Darstellen, bei Winkelfunktionen Verwenden des
Bogenmaßes. Rechnerisches und graphisches Lösen einfacher Aufgaben
(etwa Ermitteln von Schranken für Argumente zu gegebenen
Funktionswerten). Zu vorgegebenen graphischen Darstellungen passende
Funktionsterme finden. Untersuchen des Monotonieverhaltens und
anderer Eigenschaften (etwa Symmetrieeigenschaft, Krümmungsverhalten,
asymptotisches Verhalten, Periodizität, Umkehrbarkeit).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Argumentieren)
Anwenden reeller Funktionen in außermathematischen Situationen:
Etwa bei Vorgängen und Problemen aus den Naturwissenschaften, der
Wirtschaft oder aus anderen Bereichen; insbesondere Bearbeiten von
Wachstums- und Abnahmeprozessen sowie von periodischen Vorgängen.
Vergleichen verschiedener Modelle (etwa Vergleichen von linearem und
exponentiellem Wachstum); Vergleichen verschiedener Änderungsmaße.
Bilder diskreter Modelle mit Zahlenfolgen. Erkennen von Problemen
beim Modellbilden (wie 5. Klasse).
(-> Anwenden von Mathematik, Kritisches Denken, Reflektieren über
Mathematik)
Allenfalls Bilden von inversen Funktionen:
Kennen von Kriterien für die Umkehrbarkeit einer Funktion. Zu
gegebenen Funktionen, insbesondere zu linearen Funktionen,
Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen, die Umkehrfunktionen
rechnerisch und graphisch ermitteln.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Darstellen)
Bearbeiten von Themen aus den Bereichen Geldwesen und Wirtschaft
Die Schüler sollen im Zuge einer mathematischen Behandlung solcher
Themen einen tieferen Einblick in die bearbeiteten Sachbereiche und
Einsicht in ihre Zusammenhänge gewinnen. Eine solche Bearbeitung kann
entweder bei der Behandlung einzelner mathematischer Stoffgebiete
erfolgen oder umgekehrt können mathematische Methoden aus der
Behandlung vorgegebener Sachthemen entwickelt werden. Dabei sollen
die Schüler das wechselseitige Umsetzen und Interpretieren von
außermathematischen Inhalten und mathematischen Zusammenhängen üben.
Aspekte einer Behandlung wirtschaftlicher Sachthemen können sein:
Darstellen von Sachverhalten (gegebenenfalls in unterschiedlicher
Weise); Untersuchungen in qualitativer oder quantitativer Hinsicht;
kritisches Betrachten von Modellbildungen (etwa kritisches Betrachten
von Voraussetzungen, Daten, Ergebnissen und des Gültigkeitsbereiches
funktionaler Zusammenhänge).
Themen aus den Sachbereichen Geldwesen und Wirtschaft eignen sich
in besonderer Weise für einen projektartigen Unterricht. Es sollen
hier aktuelle Bezüge sowie Querverbindungen zu anderen
Unterrichtsgegenständen gesucht werden.
Beispiele für Themen:
Themen mit persönlicher, lebenspraktischer Bezugsmöglichkeit, etwa:
verschiedene Formen von Geld- und Wertpapieranlagen, Vergleich von
verschiedenen Zahlungsformen (Diskontieren), Kreditprobleme,
Versicherungsprobleme, Steuersysteme.
Themen mit quantitativen Überlegungen für Betriebe, etwa:
Kosten-Erlös-Gewinnrechnung, Verfahrensvergleiche, Abschreibungen.
Themen über allgemeinere wirtschaftliche Vorgänge, etwa:
Wachstumsvorgänge, Nachfrage, Angebot, Marktgleichgewicht.
(-> Anwendung von Mathematik, Produktives Arbeiten, Kritisches
Denken, Reflektieren über Mathematik)
Projektorientierter Unterricht
(wie 5. Klasse)
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
7. Klasse (3 Wochenstunden):
Nichtlineare analytische Geometrie
Das analytische Beschreiben von geometrischen Objekten durch
nichtlineare Gleichungen (Herleiten von Gleichungen), das analytische
Untersuchen von geometrischen Beziehungen und das rechnerische Lösen
von geometrischen Problemen sollen die Hauptaktivitäten der Schüler
sein. Eine umfassende Behandlung der Kegelschnitte ist nicht
erforderlich.
Kreis:
Herleiten einer Gleichung des Kreises. Untersuchen von
Lagebeziehungen zwischen Kreisen und Geraden bzw. zwischen Kreisen
und Kreisen. Rechnerisches Lösen von Kreisaufgaben nach Möglichkeit
in Verbindung mit konstruktiven Lösungswegen. Beschreiben von
Lösungswegen, gegebenenfalls Begründen des Vorgehens.
Allenfalls Beweisen geometrischer Sachverhalte bzw.
Auseinandersetzen mit solchen Beweisen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren,
Produktives Arbeiten, Argumentieren)
Kegelschnittslinien:
Exemplarisches Herleiten von Gleichungen von Kegelschnitten.
Untersuchen der gegenseitigen Lage von Kegelschnittslinien und
Geraden.
(-> Darstellen und Interpretieren, Argumentieren)
Allenfalls Kugel:
Herleiten einer Gleichung der Kugel. Lösen von Aufgaben, die
einfache geometrische Überlegungen unter Einbeziehung von
Eigenschaften der Kugel erfordern.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten)
Algebraische Gleichungen, komplexe Zahlen
Algebraische Gleichungen:
Abspalten von Linearfaktoren bei Polynomen, Anwenden zum Lösen von
Gleichungen, insbesondere von Gleichungen 3. Grades. Erkennen, daß
eine Gleichung n-ten Grades höchstens n reelle Lösungen haben kann.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten)
Arbeiten mit komplexen Zahlen:
Berechnen von komplexen Lösungen quadratischer Gleichungen mit
reellen Koeffizienten; Untersuchen der Lösungsfälle. Rechnen mit
komplexen Zahlen insbesondere in der Form a + b i. Untersuchen der
Gültigkeit von Rechengesetzen. Darstellen der Addition und
Subtraktion in der Zahlenebene.
Allenfalls Darstellen komplexer Zahlen in Polarform. Geometrisches
Deuten von Multiplikation und Division. Arbeiten mit Potenzen
komplexer Zahlen und Lösen von Gleichungen der Form x hoch n = a mit
alpha E C. Beschreiben von physikalischen Vorgängen mit komplexen
Zahlen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Allenfalls Konstruktion von Zahlbereichen:
Kennen grundlegender Ideen der Erweiterung von Zahlbereichen und
Gewinnen von Einsichten in Probleme von Zahlbereichserweiterungen.
Behandeln von Existenzfragen. Konstruktion der komplexen Zahlen.
(-> Vertiefte Kenntnisse und Einsichten, Reflektieren über
Mathematik)
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Schwerpunkt soll das Arbeiten mit zumindest einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung und das Bearbeiten von Problemen der
Beurteilenden Statistik sein. Dazu ist eine ausführliche Behandlung
des Berechnens von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten einzelner
Ereignisse nicht unbedingt erforderlich. Die Verwendung von
Rechengeräten und geeigneter Software ist zweckmäßig. Das Anwenden
soll mit kritischen Betrachtungen, insbesondere von Problemen der
mathematischen Modellbildung, verbunden werden. Theoretische
Fundierungen der verwendeten Begriffe können auch in der 8. Klasse
erfolgen.
Ermitteln und Deuten von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten:
Einsicht gewinnen, daß Wahrscheinlichkeiten durch
Zufallsexperimente oder (rechnerische) Überlegungen aufgrund von
verschiedener Annahmen (etwa Unabhängigkeit, Gleichwahrscheinlichkeit
der Elementarereignisse) ermittelt werden können. Kritisches
Betrachten solcher Annahmen. Kennen verschiedener Deutungen von
Wahrscheinlichkeit (etwa als Anteil, als relative Häufigkeit, als
subjektives Vertrauen).
(-> Grundlegende Kenntnisse, Anwenden von Mathematik, Kritisches
Denken)
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Kennen und Interpretieren der Begriffe Wahrscheinlichkeit,
Erwartungswert und Varianz; Herstellen von Beziehungen zu den
entsprechenden Begriffen bei Häufigkeitsverteilungen. Arbeiten mit
diesen Begriffen, insbesondere beim Lösen von Anwendungsaufgaben mit
der Binominalverteilung oder der Normalverteilung.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Anwenden von
Mathematik)
Testen und Schätzen:
Prüfen von Hypothesen; Schätzen von Parametern (etwa von
Wahrscheinlichkeiten) oder nichtparametrisches Schätzen.
(-> Anwenden von Mathematik, Kritisches Denken, Reflektieren über
Mathematik)
Allenfalls Berechnen von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten:
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus gegebenen
Wahrscheinlichkeiten mittels Diagrammen (etwa Baumdiagrammen) oder
Regeln (etwa Additionsregel, Multiplikationsregel) oder
Verteilungsgesetzen (etwa der Binomialverteilung). Verwenden der
Bayesschen Formel.
(-> Grundlegende Fertigkeiten, Anwenden von Mathematik)
Differentialrechnung
Die Schüler sollen den Begriff des Differentialquotienten mit dem
Begriff des Differenzenquotienten verbinden können und mit beiden
Begriffen verschiedenartige Vorstellungen verknüpfen. Sie sollen
einige Differentiationsregeln kennen, es genügt jedoch, diese in
einfachen Beispielen anzuwenden. Beim Untersuchen von Funktionen
sollen die Schüler ihre Vorgangsweise begründen bzw. erläutern
können. Das Untersuchen von Kurven und das Lösen von
Extremwertaufgaben soll die Nützlichkeit der Differentialrechnung
aufzeigen; dabei kann eine Einschränkung auf Polynomfunktionen
erfolgen.
Differenzenquotient:
Definieren des Differenzenquotienten (der mittleren Änderungsrate),
Interpretieren in verschiedenen außermathematischen Situationen
(insbesondere als mittlere Geschwindigkeit), in geometrischen
Anwendungen (insbesondere als Steigung der Sekante) und durch
allgemein anwendbare Deutungen (etwa als Zuwachs pro Einheit).
Allenfalls Vergleichen mit anderen Änderungsmaßen für Funktionen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren,
Anwenden von Mathematik)
Differentialquotient:
Definieren des Differentialquotienten (der Änderungsrate an einer
Stelle), wobei ein intuitiver Grenzwertbegriff verwendet werden kann.
Interpretieren in verschiedenen außermathematischen Situationen
(insbesondere als Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt) und in
geometrischen Anwendungen (insbesondere als Steigung der Tangente),
Anwenden zum Definieren von Begriffen. Bestimmen von
Differentialquotienten aufgrund der Definition, etwa von f(x) = x
hoch 3, f(x) = 1/x, f(x) = wurzel x. Deuten der 2. Ableitung (etwa
als Beschleunigung).
(-> Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren,
Anwenden von Mathematik)
Differentiationsregeln:
Differenzieren von Polynomfunktionen, Begründen der dazu nötigen
Regeln. Kennen der Regeln zum Differenzieren der Sinus- und der
Cosinusfunktion sowie weiterer Regeln (etwa Regeln zum Differenzieren
von rationalen Funktionen, von zusammengesetzten Funktionen oder von
Wurzelfunktionen). Anwendungen an einfachen Beispielen.
Allenfalls Begründen solcher Regeln. Ermitteln von Stammfunktionen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Argumentieren)
Untersuchen von Funktionen, in erster Linie von Polynomfunktionen:
Kennen von Definitionen und Sätzen zur Bestimmung des
Monotonieverhaltens, von lokalen Extremstellen und von Extremstellen
in einem Intervall. Ermitteln von Monotoniebereichen und
Extremstellen, zeichnerisches Darstellen (auch skizzenhaft) von
Funktionsgraphen; gegebenenfalls auch Verwenden von
Computergraphiken. Begründen des Vorgehens bei
Funktionsuntersuchungen durch Definitionen und Sätze. Kennen einiger
typischer Graphen von Polynomfunktionen. Anwenden der Methoden zur
Untersuchung von Funktionen, insbesondere zum Ermitteln von
Nullstellen bzw. von Lösungen von Gleichungen (Anzahl und Lage) sowie
zum Lösen von Extremwertaufgaben.
Allenfalls Untersuchen des Krümmungsverhaltens von Funktionen.
Ermitteln von Polynomfunktionen aus vorgegebenen Bedingungen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Produktives Arbeiten, Argumentieren
und exaktes Arbeiten, Anwenden von Mathematik)
Begründung der Differentialrechnung
Die Schüler sollen mit einer Definition des Grenzwertes oder der
Stetigkeit von Funktionen arbeiten und darauf aufbauend einige
grundlegende Sätze der Differentialrechnung begründen können oder
sich mit solchen Begründungen auseinandersetzen können. Diese
Exaktifizierung der Differentialrechnung kann erfolgen, wenn die
Schüler bereits längere Zeit mit dem Differentialquotienten auf der
Basis eines intuitiven Grenzwertbegriffes gearbeitet haben, sie kann
aber auch mit der Entwicklung der Differentialrechnung und deren
Anwendungen verbunden werden.
Präzisieren des Begriffes des Grenzwertes bzw. der Stetigkeit von
Funktionen:
Kennen und anschauliches Interpretieren einer exakteren Fassung
eines intuitiven Grenzwert- oder Stetigkeitsbegriffes. Argumentieren
mit dieser Definition (in rechnerisch einfachen Fällen).
(-> Grundlegende Kenntnisse, Exaktes Arbeiten und Argumentieren,
Erkennen logischer Strukturen, Reflektieren über Mathematik)
Arbeiten mit Sätzen für Grenzwerte von Funktionen bzw. für stetige
Funktionen:
Begründen von Differentiationsregeln mit solchen Sätzen, etwa mit
Sätzen für die Summe, die Differenz, das Produkt, den Quotienten oder
für die Verkettung von Funktionen. Auseinandersetzen mit Beweisen
solcher Sätze oder Beweisen solcher Sätze.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Produktives Arbeiten)
Allenfalls Arbeiten mit Sätzen über stetige und differenzierbare
Funktionen:
Formulieren entsprechender Sätze, Illustrieren durch Beispiele und
Gegenbeispiele. Anwenden dieser Sätze zu Begründungen bei
Untersuchungen von Funktionen (etwa: Zwischenwertsatz für die
Existenz von Nullstellen). Erkennen, daß diese Sätze mit Hilfe der
Stetigkeit bzw. der Vollständigkeit der reellen Zahlen begründet
werden können.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Reflektieren über die Differentialrechnung:
Erkennen fundamentaler Ideen. Erkennen verschiedener
Exaktheitsstufen bei der Behandlung der Differentialrechnung.
Allenfalls Einbeziehung historischer Aspekte.
(-> Grundlegende Einsichten, Reflektieren über Mathematik)
Projektorientierter Unterricht
(wie 5. Klasse)
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
8. Klasse (3 Wochenstunden):
Integralrechnung
Der Umgang mit dem Integral soll nicht auf das Arbeiten mit
Flächeninhalten beschränkt werden. Die Schüler sollen sich mit
weiteren Deutungen und Anwendungen auseinandersetzen. Dabei sollen
sie vor allem Einsichten gewinnen und nicht so sehr neue Verfahren
lernen.
Stammfunktionen:
Definieren des Begriffes der Stammfunktion, Ermitteln von
Stammfunktionen zu einfachen Funktionen. Lösen von Anwendungsaufgaben
(etwa Bestimmen des Weges aus Geschwindigkeit oder Beschleunigung).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Anwenden von
Mathematik)
Berechnen von Flächeninhalten:
Berechnen mit Stammfunktionen; Begründen dieser Berechnungsmethode.
Näherungsweises Berechnen (etwa unter Verwendung von Unter- und
Obersummen), gegebenenfalls unter Verwendung von Rechnern.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Argumentieren)
Bestimmtes Integral:
Kennen des Begriffes des Integrals als Ergebnis eines
Grenzprozesses (ausgehend von Summen). Erläutern des Zusammenhanges
zwischen den Begriffen Integral und Stammfunktion.
Allenfalls Berechnen von Näherungswerten von Integralen oder von
Stammfunktionen (etwa mit Unter- oder Obersummen), auch unter
Verwendung von Rechnern.
(-> Grundlegende Kenntnisse)
Arbeiten mit weiteren Deutungen des Integrals:
Exemplarisches Anwenden des Integrals, etwa auf
naturwissenschaftliche Begriffe (beispielsweise Arbeit) oder Deuten
als Volumen und dabei Herleiten von Volumsformeln.
Allenfalls Durchführen von numerischen Berechnungen, auch unter
Verwendung von Rechnern oder Tabellen.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten,
Argumentieren)
Allenfalls Begründen der Integralrechnung:
Begründen der Existenz des bestimmten Integrals für gewisse
Funktionsklassen (etwa für stetige Funktionen). Beweisen des
Hauptsatzes oder Auseinandersetzen mit einem Beweis.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Differentiation der Exponential- und der Logarithmusfunktion.
Differentialgleichungen
Differenzieren der Exponential- und der Logarithmusfunktion:
Dabei Erkennen der Besonderheit der Basis e. Erkennen der
natürlichen Logarithmusfunktion als Stammfunktion von f(x) =1/x.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten)
Arbeiten mit der Differentialgleichung y' = k.y:
Kennen der Bedeutung der Differentialgleichung in Anwendungen.
Allenfalls Kennen eines Weges zur Ermittlung aller Lösungen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Anwenden von Mathematik)
Allenfalls Kennen weiterer Differentialgleichungen aus Anwendungen:
Anhand einfacher Beispiele erkennen, daß Differentialgleichungen
und deren Lösungen eine allgemeine Beschreibung von
Anwendungssituationen (beispielsweise von Schwingungsvorgängen)
ermöglichen.
(-> Vertiefte Kenntnisse, Anwenden von Mathematik)
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Bearbeiten von Problemen (etwa Berechnen von Wahrscheinlichkeiten,
Schätzen, Testen) mit bekannten oder auch neuen Verteilungen.
(-> Anwenden von Mathematik, Produktives Arbeiten)
Allenfalls Vertieftes Betrachten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Etwa: Vergleichen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
(beispielsweise hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit); Präzisieren von
stochastischen Grundbegriffen; genaueres Begründen von Verfahren.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Reflektieren über
Mathematik)
Allenfalls Vertieftes Betrachten des Wahrscheinlichkeitsbegriffes:
Etwa: Kennen des Mengenmodells; Axiomatisieren von
Wahrscheinlichkeit; Auseinandersetzen mit subjektiven
Wahrscheinlichkeiten.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Reflektieren über
Mathematik)
Allenfalls Analysieren von zweidimensionalen Datenmengen (Regression
und Korrelation).
(-> Anwenden von Mathematik)
Zusammenfassende Wiederholung und Vertiefung
Die Schüler sollen den Lehrstoff aller Klassen in zusammenfassenden
Darstellungen (eventuell auch in Referaten) und anhand von geeigneten
Aufgabenstellungen wiederholen. Dabei können auch bisher nicht
behandelte, durch ,,Allenfalls'' gekennzeichnete Lerninhalte
erarbeitet werden. Bei der Wiederholung soll eine Vertiefung des
Gelernten erfolgen, wobei grundlegende Aspekte der Mathematik stärker
als bisher berücksichtigt werden sollen. Möglichkeiten dafür können
sein:
- Vertiefung in theoretischer Richtung, beispielsweise durch Eingehen
auf strukturelle Aspekte (algebraische Strukturen), durch weitere
Präzisierungen und Beweisführungen (beispielsweise mit
vollständiger Induktion) oder durch Anwenden der axiomatischen
Methode;
- Bearbeiten von Problemen unter algorithmischen Aspekten;
- Behandlung von Fragen der numerischen Mathematik, wie sie besonders
bei Anwendungsaufgaben und beim Einsatz von Rechnern auftreten;
- kritische Betrachtung von mathematischen Modellbildungen;
- Reflektieren über mathematische Tätigkeiten und historische
Betrachtungen.
Schriftliche Arbeiten:
Hausübungen
Schularbeiten.
Didaktische Grundsätze:
Planung und Durchführung des Unterrichts erfordern eine Reihe von
Überlegungen und Entscheidungen, wozu im folgenden wichtige
Gesichtspunkte genannt sind.
Aktivierung der Schüler:
Die Ziele des Mathematikunterrichts beziehen sich vor allem auf die
Entwicklung von Fähigkeiten, die sich darin äußern, daß die Schüler
entsprechende Handlungen durchführen können. Dementsprechend sind
beim Lehrstoff die Lernziele der einzelnen Klassen durch Tätigkeiten
der Schüler beschrieben, die von diesen im Unterricht durchgeführt
und beherrscht werden sollen. Dazu sind geeignete Aufgabenstellungen
notwendig.
Die Schüler sollen nicht nur mathematisches Wissen und Können
reproduzieren, sondern sie sollen auch lernen, Wissen zu
rekonstruieren oder selbständig zu entwickeln sowie vielfältig
anzuwenden. Um selbständiges Arbeiten und Schüleraktivitäten zu
ermöglichen, werden vielfach gezielte Informationen und Anleitungen
notwendig sein.
Wahl passender Sozialformen des Unterrichts:
Der Einsatz passender Sozialformen des Unterrichts soll auf die
angestrebten Lernziele, die Eigenart des Stoffes und auf das
Vorverständnis der Schüler abgestimmt werden:
- Lehrervortrag für rasche und klare Informationen, Hilfestellungen,
Erklärungen und zum Hervorheben wichtiger Aspekte.
- Fragend-entwickelnder Unterricht für Denkanstöße und zur
Feststellung von Schwierigkeiten bzw. von Verständnis bei einzelnen
Schülern.
- Lösen von Aufgaben durch Schüler an der Tafel zur Demonstration von
Lösungswegen oder zur Beobachtung einzelner Schüler.
- Einzel- oder Partnerarbeit zur Förderung von selbständigem Denken
und von Eigenaktivitäten der Schüler, zum Erkennen von
unterschiedlichen Schwierigkeiten einzelner Schüler und für
differenzierte Hilfestellungen.
- Partner- und Gruppenarbeit zum selbständigen Arbeiten, zum sozialen
Lernen und zum Anstreben allgemeiner Lernziele (zB Argumentieren,
kritisches Denken).
- Mitwirken der Schüler bei der Organisation von Projektarbeit.
Im Rahmen der verschiedenen Sozialformen sollen die Schüler auch
planmäßig dazu angeleitet werden, Texte und sonstige Informationen
für ihre Arbeit zu verwenden.
Motivierung der Schüler:
Motivierung kann vielseitig erfolgen:
- durch fachbezogene Aspekte (etwa durch Beziehungshaltigkeit,
Anwendungs- oder Problemorientierung, durch theoretische Aspekte
zur Gewinnung von Einsicht und Übersicht, durch Verfahrensaspekte,
die Sicherheit vermitteln, durch eine Entwicklung des Stoffes, die
die Bedeutung, die Zweckmäßigkeit oder den Sinn erkennen läßt),
- vom Unterrichtsstil und von Unterrichtsformen her (etwa durch
persönliche Autorität und Engagement des Lehrers, durch
Kooperationsbereitschaft, gut überlegten Vortrag,
Schülerselbsttätigkeit),
- im Hinblick auf den einzelnen Schüler (etwa durch Beachtung von
Vorerfahrungen, Vorkenntnissen und Interessen, durch
Erfolgserlebnisse, durch Gespräche über den Sinn mathematischer
Tätigkeiten im Unterricht, durch persönliche Beziehungen zum
Lehrer),
- durch Förderung der Einsicht, daß Erfolge im Mathematikunterricht
persönliche Anstrengungen erfordern, daß damit aber wertvolle und
nachhaltige Qualifikationen erarbeitet werden können - mit ihren
möglichen Transferwirkungen auf andere Bereiche der Schule, des
späteren Lebens, Studiums und Berufs.
Produktives geistiges Arbeiten:
Um produktives geistiges Arbeiten zu ermöglichen, muß den Schülern
die Gelegenheit geboten werden, zu experimentieren, Probleme zu
entdecken und zu formulieren, zu erkennen, ob Daten fehlen oder
überflüssig sind, Vermutungen und Plausibilitätsbetrachtungen
anzustellen, selbständig Problemlöseversuche durchzuführen. Gute
Gelegenheit dazu bietet auch der projektorientierte Unterricht.
Die Schüler sollen sich gegebenenfalls mit mehreren
Lösungsmöglichkeiten eines Problems auseinandersetzen, ein Festlegen
auf einen bestimmten Lösungsweg soll nicht immer angestrebt werden.
Zur Schulung des Problemlösens können auch Aufgaben gestellt werden,
bei denen die Schüler nur den Lösungsweg beschreiben. Im Laufe der
Zeit sollen sie mit mathematischen Problemlösestrategien vertraut
werden, die sie bewußt einsetzen.
Für selbstständiges und produktives Arbeiten ist die Vermeidung von
Zeitdruck wesentlich. Dazu sind sorgfältige Überlegungen notwendig,
in welchem Ausmaß und auf welchem Niveau einzelne Inhalte behandelt
und welche Aufgaben gestellt werden.
Entwicklung von Verständnis für mathematische Begriffe:
Das Verständnis für einen Begriff kann sich darin äußern, daß man
verschiedene Darstellungen (verbal, symbolisch, bildhaft) geben kann,
daß man inner- und außermathematische Vorstellungen mit dem Begriff
verbinden kann, daß man theoretische Beziehungen zu anderen
mathematischen Begriffen herstellen kann, daß man formale
Operationen, Argumentationen sowie Anwendungen durchführen kann und
daß man Angaben zu Sinn und Zweck eines Begriffes machen kann. Dies
setzt eine überlegte Entwicklung von Begriffen im Unterricht voraus.
Ein Präzisieren und ein verbindliches Festlegen von Begriffen in Form
von Definitionen sollte im allgemeinen angestrebt werden, muß aber
nicht am Anfang stehen.
Anwendungen eines Begriffes sollten schon bei dessen Entwicklung
mitberücksichtigt werden. Es muß keineswegs immer die Theorie den
Anwendungen vorangehen.
Ein umfangreiches Begriffsverständnis wird vielfach durch ein
Lernen in Phasen, die auch durch längere Zeitabschnitte getrennt sein
können, erreicht werden. Das Arbeiten mit einem Begriff kann auf
verschiedenen Exaktheitsniveaus erfolgen; die Wahl eines passenden
Niveaus hängt vor allem vom Kontext und den zu behandelnden
Aufgabenstellungen ab.
Sicherung des Unterrichtsertrages:
Im Unterricht ist eine angemessene Zeit für das Üben einzuplanen,
insbesondere für den Erwerb grundlegender Kenntnisse und
Fertigkeiten. Den Schülern sollen aber auch Übungsaufgaben zur
Schulung von mathematischen Grundtätigkeiten (Argumentieren und
exaktes Arbeiten, Darstellen und Interpretieren, produktives
geistiges Arbeiten, kritisches Denken) gestellt werden. Eine
Festigung des Gelernten tritt auch durch dessen Anwendungen in
verschiedenen, teils neuartigen Zusammenhängen ein.
Die Schüler sollen Gedanken, die zum Erwerb mathematischen Wissens
geführt haben, wiederholen und dabei lernen, erworbenes Wissen zu
rekonstruieren und auch zu begründen. Ein Beschreiben der eigenen
mathematischen Tätigkeiten, etwa des Lösens von Problemen, kann zu
einem Bewußtmachen und Festigen des Wissens führen. Zusammenfassen,
Einordnen in Bekanntes, Herstellen von Beziehungsnetzen,
überblicksartiges Betrachten und Auseinandersetzen mit aufgetretenen
Fehlern sollen bei möglichst hoher Aktivität der Schüler zur
Festigung und Vertiefung führen.
Durch eine innere Differenzierung, etwa dadurch, daß die Schüler
unterschiedliche Aufgabenstellungen (in der Anzahl oder im
Schwierigkeitsgrad) erhalten oder daß leistungsstärkere Schüler
anderen Schüler helfen, können individuelle Unterschiede im Lerntempo
berücksichtigt werden.
Der Lehrer soll sich laufend über den Lernerfolg der Schüler
informieren, etwa durch schriftliche Imformationsfeststellungen,
durch Beobachtung der Schüler bei Einzelarbeit oder durch persönliche
Gespräche. Hausübungen sind regelmäßig in geeigneter Form zu
korrigieren.
Mündliche Prüfungen und Schularbeiten sollen sich möglichst auf
unterschiedliche Lernziele beziehen. Es sollen sich daher nicht alle
Aufgaben in numerischen Berechnungen, algebraischen Umformungen oder
geometrischen Konstruktionen erschöpfen, sondern es sollen auch
Aufgaben oder Aufgabenteile zum Argumentieren und exakten Arbeiten,
zum Darstellen und Interpretieren sowie in eingeschränktem Maß zum
produktiven Arbeiten gestellt werden. Die Aufgaben werden somit
vielfach weder quantitativ noch qualitativ gleichwertig sein können.
Einsatz von Rechengeräten und anderen Hilfsmitteln:
Rechengeräte und andere Hilfsmittel (insbesondere Formelsammlungen,
Tabellen) sind in einer den Zielen und den übrigen didaktischen
Grundsätzen des Lehrplans angemessenen Form als Arbeitsmittel
einzusetzen. Die Wahl dieser Arbeitsmittel (zB Taschenrechner, auch
programmierbare, Personalcomputer) obliegt dem Lehrer.
Querverbindungen:
Insbesondere die Hinweise im Lehrstoff ,,(-> Anwenden von
Mathematik)'' und auf Projektunterricht geben eine Vielzahl von
Anregungen für Querverbindungen zu anderen Unterrichtsgegenständen
und für fächerübergreifenden Unterricht.
In der 5. Klasse des Oberstufenrealgymnasiums soll durch eine den
Kenntnissen der Schüler angepaßte Wiederholung des wesentlichen
Lehrstoffs der Unterstufe gesichert werden, daß von einem
einigermaßen gleichen Kenntnisniveau zur Bewältigung des Lehrstoffs
ausgegangen werden kann.
Dies ist ein Service der
Österreichischen Professoren Union