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Übersicht Oberstufe
Wahlpflichtgegenstand Mathematik
Mathematik am Oberstufenrealgymnasium mit ergänzendem Unterricht in Biologie und Umweltkunde, Physik sowie Chemie und am Oberstufenrealgymnasium mit Darstellender Geometrie
Mathematik am Gymnasium, am Wirtschaftskundlichen Realgymnasium und am Oberstufenrealgymnasium mit Instrumentalunterricht oder mit Bildnerischem Gestalten und Werkerziehung
Allgemeiner Teil des Lehrplans
Bildungs- und Lehraufgabe:
Der Unterricht in Mathematik soll zum Erreichen der folgenden Ziele
beitragen, die sowohl fachspezifische wie fächerübergreifende Aspekte
enthalten:
Mathematisches Wissen und Können.
Die Schüler sollen
- grundlegende Kenntnisse, Fertigkeiten, Fähigkeiten und Einsichten
in den Stoffgebieten Algebra, Geometrie, Analysis und Stochastik
erwerben und verwenden können,
- mit mathematischen Methoden und Denkweisen vertraut werden,
- ein Bild der Mathematik gewinnen, das Verfahrens-, Problem-,
Anwendungs- und Theorieaspekte ausgewogen repräsentiert,
- mit der Verwendung geeigneter mathematischer Texte und
Arbeitsmittel, insbesondere elektronischer Rechengeräte vertraut
werden.
Anwenden von Mathematik.
Die Schüler sollen
- ihr mathematisches Wissen und Können in verschiedenen Bereichen,
insbesondere in solchen, die zu ihrer Lebens- und Wissenswelt Bezug
haben, anwenden können,
- Mathematik als nützliches Werkzeug zur Lösung von Alltagsproblemen
erkennen,
- Einsichten in Probleme des Anwendens von Mathematik - wie Probleme
des Bildens von mathematischen Modellen - gewinnen.
Allgemeine mathematische Fähigkeiten.
Im Zusammenhang mit dem Erwerb von mathematischem Wissen und Können
und dem Anwenden von Mathematik sind folgende Lernziele anzustreben:
- Argumentieren und exaktes Arbeiten.
Insbesondere: präzises Beschreiben von Sachverhalten, Eigenschaften
und Begriffen (Definieren); Arbeiten unter bewußter Verwendung von
Regeln; Begründen (Beweisen); Vollständigkeit einer Argumentation
überblicken; Erkennen logischer Strukturen; Rechtfertigen von
Entscheidungen (etwa der Wahl eines Lösungsweges oder einer
Darstellungsform).
- Darstellen und Interpretieren.
Insbesondere: verbales, formales und graphisches Darstellen von
Sachverhalten; Deuten von formalen Begriffen durch Belegen mit
Vorstellungen und Inhalten; Wechseln von Darstellungsformen;
Herauslesen von Eigenschaften und Beziehungen aus Darstellungen.
- Produktives geistiges Arbeiten.
Insbesondere: Kombinieren von vertrauten Methoden; Analysieren von
Problemen, Begründungen, Darstellungen oder mathematischen
Objekten; Anwenden bekannter Verfahren in teilweise neuartigen
inner- oder außermathematischen Situationen; Abstrahieren und
Konkretisieren, Verallgemeinern und Spezialisieren, Analogisieren
und Kontrastieren.
- Kritisches Denken.
Insbesondere: Überprüfung von Vermutungen, von Ergebnissen;
Erkennen von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen; Erkennen
der beschränkten Gültigkeit von Aussagen, Feststellen von
Voraussetzungen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer
Modelle.
Reflektieren über Mathematik und mathematische Arbeitsweisen.
Die Schüler sollen beispielsweise
- Probleme des Definierens, Beweisens, der Exaktheit erkennen,
- Problemlösestrategien bewußt verwenden,
- die Veränderlichkeit mathematischer Begriffe in der historischen
und in der persönlichen Entwicklung kennenlernen,
- Beziehungen und Abgrenzungen zu anderen Erlebens- und
Wissensbereichen herstellen,
- sich mit der Bedeutung mathematischen Tuns für sie selbst
auseinandersetzen.
Persönlichkeits- und Sozialentwicklung.
Die Schüler sollen befähigt werden
- sorgfältig, konzentriert, planmäßig und überlegt zu arbeiten,
- gesetzmäßig zu denken, klare Begriffe zu bilden, sinnvolle Fragen
zu stellen sowie kontrolliert zu abstrahieren und zu
verallgemeinern,
- Informationsquellen sachgerecht zu nutzen,
- selbständig Wissen zu erwerben,
- Darstellungsformen, die zur Beschreibung konkreter wie abstrakter
Sach- und Denkverhalte erforderlich sind, zu verwenden oder zu
entwickeln,
- mit rationalen Denkweisen Situationen zu untersuchen und Probleme
sachgerecht zu bearbeiten, dabei aber Grenzen des Anwendens solcher
Denkweisen zu erkennen,
- Einsichten in grundlegende wissenschaftliche Verfahrensweisen und
Denkvorstellungen zu gewinnen,
- kritisches Denken zu entwickeln und gegenüber verschiedenen
Standpunkten und Sichtweisen offen zu sein,
- ihre Kommunikationsfähigkeit zu entwickeln,
- sowohl selbständig als auch kooperativ zu arbeiten,
- Freude an kreativem Verhalten und intellektuellen Leistungen zu
gewinnen.
Lehrstoff:
Wie am Gymnasium, mit folgenden Abweichungen:
5. Klasse (4 Wochenstunden):
Im Abschnitt ,,Funktionen, Formeln, Gleichungen'' lautet der Absatz
,,Einige nichtlineare reelle Funktionen'':
Einige nichtlineare reelle Funktionen, insbesondere
Funktionen der Art f(x) = cx, f(x) =c/x, f(x) =c/x hoch 2 und
abschnittsweise termdefinierte Funktionen:
Darstellen auf verschiedene Arten. Untersuchen von Funktionstypen,
Skizzieren von Graphen, Beschreiben von Eigenschaften (etwa
Monotonieverhalten). Zuordnen bekannter Funktionstypen zu
vorgegebenen Graphen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Produktives Arbeiten)
Am Schluß des Abschnittes ist folgender Absatz anzufügen:
Arbeiten mit quadratischen Funktionen:
Graphisches Darstellen der Funktionen der Form f(x) = ax hoch 2 +
bx + c und Untersuchen in Hinblick auf Nullstellen, Extremstellen und
Monotonieverhalten.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten, Anwenden
von Mathematik)
Im Abschnitt ,,Rechengesetze, Gleichungen in einer Variablen,
Ungleichungen'' lauten die letzten Absätze:
Ungleichungen:
Beschreiben von Zahlenmengen, insbesondere von Intervallen und
Umgebungen, in Verbindung mit geometrischen Darstellungen; dabei
Arbeiten mit dem Betrag von reellen Zahlen. Aus Schranken für
gegebene Größen Schranken für daraus berechenbare Größen ermitteln,
Abschätzen der Genauigkeit von Rechenergebnissen. Beschreiben des
Monotonieverhaltens von Funktionen mit Ungleichungen, Beweisen des
Monotonieverhaltens in einfachen Fällen. Lösen von Ungleichungen mit
Fallunterscheidungen (etwa quadratische Ungleichungen,
Bruchungleichungen, Betragsungleichungen).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Grundgesetze für das Rechnen mit rationalen und reellen Zahlen:
Wissen, daß die Gesetze für das Rechnen mit rationalen bzw. reellen
Zahlen aus wenigen Grundgesetzen (Axiomen) hergeleitet werden können.
Durchführen einfacher Herleitungen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Argumentieren und exaktes Arbeiten)
Allenfalls Bearbeiten von Problemen der Teilbarkeitstheorie:
Definieren von Begriffen, Herleiten von Sätzen, Lösen einfacher
zahlentheoretischer Probleme unter spezieller Berücksichtigung des
Argumentierens.
(-> Argumentieren und exaktes Arbeiten, Produktives Arbeiten)
Im Abschnitt ,,Logische Begriffe, Mengen, Schaltungen'' lautet der
erste Absatz:
Ziel ist ein Reflektieren über logische Begriffe und logische
Beziehungen, die in verschiedenen mathematischen Zusammenhängen und
auch in umgangssprachlichen Formulierungen auftreten. Dabei sollen
die Schüler die in der Mathematik üblichen Regeln für den Gebrauch
dieser Begriffe und Beziehungen in Abhebung vom Gebrauch in der
Umgangssprache kennenlernen und diese Begriffe und Beziehungen in
verschiedenen mathematischen Bereichen anwenden. Schaltungen können
als Realisierungen logischer Verknüpfungen angesehen werden und
bilden ein wesentliches Element elektronischer Rechengeräte.
Am Schluß des Abschnittes ist anzufügen:
Darstellen und Beschreiben von Schaltungen:
Kennen von Grundschaltungen (Gatter); Darstellen von Schaltungen
durch Schaltpläne, Schalttabellen und Schaltfunktionen (Schaltterme).
Vergleichen von Schaltungen (Äquivalenz). Entwerfen von Schaltungen.
(-> Grundlegende Kenntnisse, Darstellen und Interpretieren)
Rechengesetze für Schaltterme:
Erkennen und Formulieren von Rechengesetzen für das Umformen von
Schalttermen. Einsicht gewinnen sowohl in die Gleichartigkeit dieser
Rechengesetze mit denen der Mengenalgebra und der Aussagenlogik, als
auch in die Unterschiede zu den Rechengesetzen für reelle Zahlen.
Allenfalls Exemplarisches Verwenden dieser Rechengesetze (Axiome)
zum Vereinfachen von Schalttermen und zum Beweisen einfacher Sätze.
Kennen der algebraischen Struktur ,,Boolesche Algebra''.
(-> Vertiefte mathematische Kenntnisse, Produktives Arbeiten)
Im Abschnitt ,,Lineare Algebra und lineare analytische Geometrie''
lauten die letzten drei Teile:
Bearbeiten von geometrischen Problemen in der Ebene mit algebraischen
Methoden:
Lösen von Lage- und Maßaufgaben unter Heranziehung von Kenntnissen
über Vektoren sowie über lineare Gleichungen und Gleichungssysteme;
nach Möglichkeit Verbinden von rechnerischen mit konstruktiven
Lösungen. Beschreiben von Lösungswegen (unter Umständen auch ohne
Durchführen der Rechnungen), gegebenenfalls Begründen des Vorgehens.
Aufstellen einfacher Vektorformeln. Beweisen geometrischer
Sachverhalte bzw. Auseinandersetzen mit solchen Beweisen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen und Interpretieren,
Argumentieren)
Anwenden von Gleichungssystemen mit zwei Variablen zum Bearbeiten von
inner- und außermathematischen Problemen:
Dabei auch selbständiges Auseinandersetzen mit Texten. Kritisches
Betrachten von Annahmen (wie Linearität, Proportionalität usw.) und
der Lösungen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen, Anwenden von Mathematik,
Kritisches Denken)
Optimierungsaufgaben:
Formales Beschreiben einfacher, i. allg. linearer,
Optimierungsprobleme, geometrisches Interpretieren dabei auftretender
Ungleichungen, graphisches Lösen der Probleme; kritisches Betrachten
der Lösungen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen und Interpretieren, Anwenden
von Mathematik)
Nach dem Abschnitt ,,Darstellen und Analysieren von Daten und
Beziehungsstrukturen'' ist einzufügen:
Behandeln von Problemen vom algorithmischen Standpunkt
Algorithmisches Aufbereiten von Problemen, die nach Möglichkeit in
Verbindung mit Themen der 5. Klasse stehen sollen (etwa Lösen eines
linearen Gleichungssystems, Lösen von Problemen aus der
Teilbarkeitslehre . . .). Die Algorithmen sind soweit aufzubereiten,
daß sie auf einem programmierbaren Rechner (programmierbarer
Taschenrechner, Personalcomputer . . .) lauffähig sind.
Gegebenenfalls können damit auch numerische Betrachtungen verbunden
werden (etwa Auswirkungen des Rechnens mit Maschinenzahlen).
(-> Produktives Arbeiten, Exaktes Arbeiten, Darstellen)
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
6. Klasse (4 Wochenstunden):
Im Abschnitt ,,Potenzen mit ganzzahligen, rationalen und reellen
Exponenten. Logarithmen'' ist vor dem Absatz ,,Potenzen mit reellen
Exponenten'' einzufügen:
Darstellen von Zahlen in Positionssystemen:
Darstellen von natürlichen Zahlen als Potenzsummen, Kennen
nichtdekadischer Zahldarstellungen. Einsicht in die Entstehung von
Stellenwertsystemen gewinnen, auch unter Einbeziehung historischer
Aspekte.
Allenfalls Darstellen beliebiger reeller Zahlen. Kennen von
Codierungen. Algorithmen (Umrechnungen, Rechenoperationen).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Einsichten, Darstellen)
Im Abschnitt ,,Trigonometrie'' lauten die letzten beiden Absätze:
Abschätzen der Genauigkeit von Berechnungen:
Aus Schranken für gegebene Größen sollen Schranken für daraus
berechenbare Größen bestimmt werden.
(-> Exaktes Arbeiten, Kritisches Denken)
Kennen von Additionstheoremen:
(-> Grundlegende Kenntnisse)
Lineare Algebra und lineare analytische Geometrie
Fähigkeiten im Arbeiten mit Vektoren und linearen Gleichungen mit
drei Unbekannten sollen Voraussetzungen für die Behandlung von
geometrischen Problemen im Raum sein. Dabei bestehen vielfältige
Möglichkeiten für produktives Arbeiten und zur Entwicklung des
räumlichen Anschauungsvermögens. Matrizen sind - so wie Vektoren -
ein Mittel, um komplexere Rechenstrukturen, Begriffe und Beziehungen
einfach darzustellen; ein Vorteil dieser Darstellung liegt auch
darin, daß mit Matrizen weitgehend wie mit reellen Zahlen gerechnet
werden kann.
Skalarprodukt und Winkel:
Bestimmen von Normalvektoren im Raum, Untersuchen von
Orthogonalitäten. Berechnen von Winkeln zwischen zwei Geraden, zwei
Ebenen sowie zwischen einer Geraden und einer Ebene.
(-> Grundlegende Fertigkeiten)
Vektorielles Produkt:
Definieren des vektoriellen Produktes, Kennen von Eigenschaften,
Beweisen von Rechengesetzen. Kennen von Anwendungen in Geometrie und
Physik.
(-> Vertiefte Kenntnisse, Argumentieren und exaktes Arbeiten,
Anwendungen von Mathematik)
Ebenen und lineare Gleichungen in drei Variablen:
Erläutern von Zusammenhängen zwischen Ebenen und linearen
Gleichungen. Untersuchen von Lagebeziehungen zwischen Ebenen,
Berechnen von Schnittpunkten und Schnittgeraden. Lösen von
Gleichungssystemen mit drei Variablen und geometrisches
Interpretieren der verschiedenen Lösungsfälle. Erläutern, wie man mit
Hilfe eines Punktes und zweier Richtungsvektoren alle Punkte einer
Ebene erfassen kann (Parameterdarstellung einer Ebene).
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren)
Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme:
Beschreiben von Algorithmen (unter Beachtung verschiedener
Lösungsfälle) auch für Gleichungen mit mehr als drei Variablen;
exemplarisches Durchführen in einfachen Fällen.
Allenfalls Aufbereiten für programmierbare Rechner (programmierbare
Taschenrechner, Personalcomputer)
(-> Vertiefte Kenntnisse, Darstellen, Exaktes Arbeiten)
Bearbeiten geometrischer Probleme im Raum mit algebraischen Methoden:
Lösen von Lage- und Maßaufgaben - auch an Körpern - nach
Möglichkeit in Verbindung mit zeichnerischen Darstellungen.
Beschreiben von Lösungswegen (unter Umständen auch ohne Durchführen
der Rechnungen), gegebenenfalls Begründen des Vorgehens. Aufstellen
einfacher Vektorformeln. Beweisen geometrischer Sachverhalte bzw.
Auseinandersetzen mit solchen Beweisen.
(-> Produktives Arbeiten, Darstellen und Interpretieren)
Allenfalls Reflektieren über Geometrie:
Erkennen von Beziehungen und Unterschieden zwischen idealen
geometrischen und entsprechenden realen Objekten. Kennen der
Bedeutung von Grundgesetzen (Axiomen), einfaches Herleiten von Sätzen
aus den Grundgesetzen.
(-> Vertiefte Kenntnisse, Reflektieren über Mathematik)
Matrizen, Rechnen mit Matrizen:
Angeben von Sachverhalten, die durch Matrizen beschreibbar sind.
Addieren von Matrizen, Multiplizieren mit einer reellen Zahl,
Multiplizieren mit einem Vektor, Multiplizieren zweier Matrizen.
Anwenden dieser Rechenoperationen in inner- und außermathematischen
Bereichen. Untersuchen der Gültigkeit von Rechengesetzen.
(-> Grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten, Darstellen und
Interpretieren, Anwenden von Mathematik, Exaktes Arbeiten)
Allenfalls Anwenden der Matrizen bei geometrischen Abbildungen:
Etwa Darstellen von Drehungen um einen Punkt und von Spiegelungen
an einer Geraden im R2.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten)
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
7. Klasse (4 Wochenstunden):
Nichtlineare analytische Geometrie
Der Absatz ,,Kugel'' lautet:
Herleiten einer Gleichung der Kugel. Lösen von Aufgaben, die
einfache geometrische Überlegungen unter Einbeziehung von
Eigenschaften der Kugel erfordern.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten)
Differentialrechnung
Der erste Absatz lautet:
Die Schüler sollen den Begriff des Differentialquotienten mit dem
Begriff des Differenzquotienten verbinden können und mit beiden
Begriffen verschiedenartige Vorstellungen verknüpfen. Sie sollen
einige Differentiationsregeln kennen, es genügt jedoch, diese in
einfache Beispiele anzuwenden. Beim Untersuchen von Funktionen sollen
die Schüler ihre Vorgangsweise begründen bzw. erläutern können. Das
Untersuchen von Kurven und das Lösen von Extremwertaufgaben soll die
Nützlichkeit der Differentialrechnung aufzeigen.
Der Abschnitt ,,Untersuchen von Funktionen'' lautet:
Kennen von Definitionen und Sätzen zur Bestimmung des
Monotonieverhaltens, von lokalen Extremstellen und von Extremstellen
in einem Intervall. Ermitteln von Monotoniebereichen und
Extremstellen, zeichnerisches Darstellen (auch skizzenhaft) von
Funktionsgraphen; gegebenenfalls auch Verwenden von
Computergraphiken. Begründen des Vorgehens bei
Funktionsuntersuchungen durch Definitionen und Sätze. Kennen einiger
typischer Graphen von Funktionen. Anwenden der Methoden zur
Untersuchung von Funktionen, insbesondere zum Ermitteln von
Nullstellen bzw. von Lösungen von Gleichungen (Anzahl und Lage) sowie
zum Lösen von Extremwertaufgaben.
Allenfalls Untersuchen des Krümmungsverhaltens von Funktionen.
Ermitteln von Polynomfunktionen aus vorgegebenen Bedingungen.
(->Grundlegende Kenntnisse, Produktives Arbeiten, Argumentieren und
exaktes Arbeiten, Anwenden von Mathematik)
Allenfalls Potenzreihenentwicklung:
Approximation von Funktionen durch lineare Funktionen und durch
Polynomfunktionen; exemplarisches Anwenden der Taylorschen Formel.
Näherungsweises Berechnen von Funktionswerten, Untersuchen der
Näherung (Abhängigkeit der Approximationsgüte vom Grad des Polynoms
bzw. von der Entfernung vom Ausgangspunkt).
(-> Vertiefte Kenntnisse)
Im Abschnitt ,,Begründung der Differentialrechnung'' ist vor dem
Absatz ,,Reflektieren über die Differentialrechnung'' einzufügen:
Allenfalls Erweitern des Grenzwertbegriffes:
Definieren von uneigentlichen Grenzwerten
(etwa lim f(x) = a, lim f(x) = unendlich)
x->unendlich x->p
und anschauliches Interpretieren.
(-> Exaktes Arbeiten, Interpretieren)
Nach dem Absatz ,,Reflektieren über die Differentialrechnung'' ist
einzufügen:
Untersuchung vernetzter Systeme
Durch die Analyse von Systemen (aus Komponenten, die einander
beeinflussen) soll vernetztes (systemisches) Denken gefördert werden,
das heute in vielen Bereichen notwendig geworden ist. Insbesondere
soll die Fähigkeit zur Erfassung von komplexeren Zusammenhängen
verstärkt werden, die über einfache Ursache-Wirkung-Beziehungen
hinausgehen. Anhand von Anwendungsbeispielen aus verschiedenen
Wissensgebieten wie Ökonomie, Ökologie, Biologie, Physik ua. sollen
Systeme mit Hilfe verschiedener Darstellungsformen (verbal,
graphisch, symbolisch) beschrieben werden, die letztlich eine
mathematische Auswertung - vor allem mit Hilfe eines Computers -
gestatten. (Auswertungen mit dem Computer können auch von einzelnen
Schülern übernommen werden.)
Die Aufgabenstellungen können von überschaubaren, relativ
vorstrukturierten Situationen bis hin zu im einzelnen
undurchschaubaren, offeneren Situationen reichen. Systemdynamische
Methoden besitzen im allgemeinen einen stark experimentellen
Charakter und führen nicht immer zu eindeutigen, unumstößlichen
Ergebnissen. Auseinandersetzungen mit dem jeweiligen
Anwendungsbereich und Kommunikation besitzen daher hier eine erhöhte
Bedeutung (Projektunterricht).
Beschreiben von Systemen mit Hilfe von Diagrammen:
Verwenden der in der Systemdynamik üblichen Darstellungsmittel, wie
Ursache-Wirkung-Diagramm und Flußdiagramm. Erkennen der Bedeutung von
positiven und negativen Regelkreisen (eskalierende und
stabilisierende Rückkoppelungskreise) in Systemen.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten, Anwenden
von Mathematik, Kritisches Denken)
Formelmäßiges Beschreiben und rechnerisches Auswerten:
Beschreiben von Systemen mit Hilfe von Formeln, insbesondere mit
Hilfe von Differenzengleichungen. Durchführen von Simulationen, vor
allem mit Hilfe von Computern, Variieren von Anfangsbedingungen und
Parametern. Deuten der Simulationsergebnisse, insbesondere Studieren
des dynamischen Verhaltens (etwa der zeitlichen Entwicklung) von
Systemen.
(-> Darstellen und Interpretieren, Produktives Arbeiten, Anwenden
von Mathematik, Kritisches Denken)
Reflektieren über Systeme und deren mathematische Behandlung:
Erkennen von Charakteristika systemischer Änderungen, etwa
unvermutete oder undurchschaubare Einflüsse von Systemteilen auf
weiter entfernte Teile eines Systems, überraschende zeitliche
Entwicklungen usw. Erkennen, daß systemdynamische Methoden auch die
mathematische Behandlung von Problemen erlauben, die durch
,,geschlossene'' Theorien (zB Beschreiben eines Systems durch
Gleichungen und Lösen des Gleichungssystems) nicht mehr bewältigbar
sind. Kritisches Reflektieren der getroffenen Annahmen (etwa Auswahl
der Systemkomponenten, der Beziehungen zwischen ihnen). Erkennen der
Grenzen mathematischer Methoden.
(-> Kritisches Denken, Reflektieren über Mathematik)
Projektorientierter Unterricht
(wie 5. Klasse)
Schriftliche Arbeiten:
Schul- und Hausübungen
Schularbeiten.
8. Klasse (3 Wochenstunden):
Wie für das Gymnasium.
Didaktische Grundsätze:
Planung und Durchführung des Unterrichts erfordern eine Reihe von
Überlegungen und Entscheidungen, wozu im folgenden wichtige
Gesichtspunkte genannt sind.
Aktivierung der Schüler:
Die Ziele des Mathematikunterrichts beziehen sich vor allem auf die
Entwicklung von Fähigkeiten, die sich darin äußern, daß die Schüler
entsprechende Handlungen durchführen können. Dementsprechend sind
beim Lehrstoff die Lernziele der einzelnen Klassen durch Tätigkeiten
der Schüler beschrieben, die von diesen im Unterricht durchgeführt
und beherrscht werden sollen. Dazu sind geeignete Aufgabenstellungen
notwendig.
Die Schüler sollen nicht nur mathematisches Wissen und Können
reproduzieren, sondern sie sollen auch lernen, Wissen zu
rekonstruieren oder selbständig zu entwickeln sowie vielfältig
anzuwenden. Um selbständiges Arbeiten und Schüleraktivitäten zu
ermöglichen, werden vielfach gezielte Informationen und Anleitungen
notwendig sein.
Wahl passender Sozialformen des Unterrichts:
Der Einsatz passender Sozialformen des Unterrichts soll auf die
angestrebten Lernziele, die Eigenart des Stoffes und auf das
Vorverständnis der Schüler abgestimmt werden:
- Lehrervortrag für rasche und klare Informationen, Hilfestellungen,
Erklärungen und zum Hervorheben wichtiger Aspekte.
- Fragend-entwickelnder Unterricht für Denkanstöße und zur
Feststellung von Schwierigkeiten bzw. von Verständnis bei einzelnen
Schülern.
- Lösen von Aufgaben durch Schüler an der Tafel zur Demonstration von
Lösungswegen oder zur Beobachtung einzelner Schüler.
- Einzel- oder Partnerarbeit zur Förderung von selbständigem Denken
und von Eigenaktivitäten der Schüler, zum Erkennen von
unterschiedlichen Schwierigkeiten einzelner Schüler und für
differenzierte Hilfestellungen.
- Partner- und Gruppenarbeit zum selbständigen Arbeiten, zum sozialen
Lernen und zum Anstreben allgemeiner Lernziele (zB Argumentieren,
kritisches Denken).
- Mitwirken der Schüler bei der Organisation von Projektarbeit.
Im Rahmen der verschiedenen Sozialformen sollen die Schüler auch
planmäßig dazu angeleitet werden, Texte und sonstige Informationen
für ihre Arbeit zu verwenden.
Motivierung der Schüler:
Motivierung kann vielseitig erfolgen:
- durch fachbezogene Aspekte (etwa durch Beziehungshaltigkeit,
Anwendungs- oder Problemorientierung, durch theoretische Aspekte
zur Gewinnung von Einsicht und Übersicht, durch Verfahrensaspekte,
die Sicherheit vermitteln, durch eine Entwicklung des Stoffes, die
die Bedeutung, die Zweckmäßigkeit oder den Sinn erkennen läßt),
- vom Unterrichtsstil und von Unterrichtsformen her (etwa durch
persönliche Autorität und Engagement des Lehrers, durch
Kooperationsbereitschaft, gut überlegten Vortrag,
Schülerselbsttätigkeit),
- im Hinblick auf den einzelnen Schüler (etwa durch Beachtung von
Vorerfahrungen, Vorkenntnissen und Interessen, durch
Erfolgserlebnisse, durch Gespräche über den Sinn mathematischer
Tätigkeiten im Unterricht, durch persönliche Beziehungen zum
Lehrer),
- durch Förderung der Einsicht, daß Erfolge im Mathematikunterricht
persönliche Anstrengungen erfordern, daß damit aber wertvolle und
nachhaltige Qualifikationen erarbeitet werden können - mit ihren
möglichen Transferwirkungen auf andere Bereiche der Schule, des
späteren Lebens, Studiums und Berufs.
Produktives geistiges Arbeiten:
Um produktives geistiges Arbeiten zu ermöglichen, muß den Schülern
die Gelegenheit geboten werden, zu experimentieren, Probleme zu
entdecken und zu formulieren, zu erkennen, ob Daten fehlen oder
überflüssig sind, Vermutungen und Plausibilitätsbetrachtungen
anzustellen, selbständig Problemlöseversuche durchzuführen. Gute
Gelegenheit dazu bietet auch der projektorientierte Unterricht.
Die Schüler sollen sich gegebenenfalls mit mehreren
Lösungsmöglichkeiten eines Problems auseinandersetzen, ein Festlegen
auf einen bestimmten Lösungsweg soll nicht immer angestrebt werden.
Zur Schulung des Problemlösens können auch Aufgaben gestellt werden,
bei denen die Schüler nur den Lösungsweg beschreiben. Im Laufe der
Zeit sollen sie mit mathematischen Problemlösestrategien vertraut
werden, die sie bewußt einsetzen.
Für selbstständiges und produktives Arbeiten ist die Vermeidung von
Zeitdruck wesentlich. Dazu sind sorgfältige Überlegungen notwendig,
in welchem Ausmaß und auf welchem Niveau einzelne Inhalte behandelt
und welche Aufgaben gestellt werden.
Entwicklung von Verständnis für mathematische Begriffe:
Das Verständnis für einen Begriff kann sich darin äußern, daß man
verschiedene Darstellungen (verbal, symbolisch, bildhaft) geben kann,
daß man inner- und außermathematische Vorstellungen mit dem Begriff
verbinden kann, daß man theoretische Beziehungen zu anderen
mathematischen Begriffen herstellen kann, daß man formale
Operationen, Argumentationen sowie Anwendungen durchführen kann und
daß man Angaben zu Sinn und Zweck eines Begriffes machen kann. Dies
setzt eine überlegte Entwicklung von Begriffen im Unterricht voraus.
Ein Präzisieren und ein verbindliches Festlegen von Begriffen in Form
von Definitionen sollte im allgemeinen angestrebt werden, muß aber
nicht am Anfang stehen.
Anwendungen eines Begriffes sollten schon bei dessen Entwicklung
mitberücksichtigt werden. Es muß keineswegs immer die Theorie den
Anwendungen vorangehen.
Ein umfangreiches Begriffsverständnis wird vielfach durch ein
Lernen in Phasen, die auch durch längere Zeitabschnitte getrennt sein
können, erreicht werden. Das Arbeiten mit einem Begriff kann auf
verschiedenen Exaktheitsniveaus erfolgen; die Wahl eines passenden
Niveaus hängt vor allem vom Kontext und den zu behandelnden
Aufgabenstellungen ab.
Sicherung des Unterrichtsertrages:
Im Unterricht ist eine angemessene Zeit für das Üben einzuplanen,
insbesondere für den Erwerb grundlegender Kenntnisse und
Fertigkeiten. Den Schülern sollen aber auch Übungsaufgaben zur
Schulung von mathematischen Grundtätigkeiten (Argumentieren und
exaktes Arbeiten, Darstellen und Interpretieren, produktives
geistiges Arbeiten, kritisches Denken) gestellt werden. Eine
Festigung des Gelernten tritt auch durch dessen Anwendungen in
verschiedenen, teils neuartigen Zusammenhängen ein.
Die Schüler sollen Gedanken, die zum Erwerb mathematischen Wissens
geführt haben, wiederholen und dabei lernen, erworbenes Wissen zu
rekonstruieren und auch zu begründen. Ein Beschreiben der eigenen
mathematischen Tätigkeiten, etwa des Lösens von Problemen, kann zu
einem Bewußtmachen und Festigen des Wissens führen. Zusammenfassen,
Einordnen in Bekanntes, Herstellen von Beziehungsnetzen,
überblicksartiges Betrachten und Auseinandersetzen mit aufgetretenen
Fehlern sollen bei möglichst hoher Aktivität der Schüler zur
Festigung und Vertiefung führen.
Durch eine innere Differenzierung, etwa dadurch, daß die Schüler
unterschiedliche Aufgabenstellungen (in der Anzahl oder im
Schwierigkeitsgrad) erhalten oder daß leistungsstärkere Schüler
anderen Schüler helfen, können individuelle Unterschiede im Lerntempo
berücksichtigt werden.
Der Lehrer soll sich laufend über den Lernerfolg der Schüler
informieren, etwa durch schriftliche Imformationsfeststellungen,
durch Beobachtung der Schüler bei Einzelarbeit oder durch persönliche
Gespräche. Hausübungen sind regelmäßig in geeigneter Form zu
korrigieren.
Mündliche Prüfungen und Schularbeiten sollen sich möglichst auf
unterschiedliche Lernziele beziehen. Es sollen sich daher nicht alle
Aufgaben in numerischen Berechnungen, algebraischen Umformungen oder
geometrischen Konstruktionen erschöpfen, sondern es sollen auch
Aufgaben oder Aufgabenteile zum Argumentieren und exakten Arbeiten,
zum Darstellen und Interpretieren sowie in eingeschränktem Maß zum
produktiven Arbeiten gestellt werden. Die Aufgaben werden somit
vielfach weder quantitativ noch qualitativ gleichwertig sein können.
Einsatz von Rechengeräten und anderen Hilfsmitteln:
Rechengeräte und andere Hilfsmittel (insbesondere Formelsammlungen,
Tabellen) sind in einer den Zielen und den übrigen didaktischen
Grundsätzen des Lehrplans angemessenen Form als Arbeitsmittel
einzusetzen. Die Wahl dieser Arbeitsmittel (zB Taschenrechner, auch
programmierbare, Personalcomputer) obliegt dem Lehrer.
Querverbindungen:
Insbesondere die Hinweise im Lehrstoff ,,(-> Anwenden von
Mathematik)'' und auf Projektunterricht geben eine Vielzahl von
Anregungen für Querverbindungen zu anderen Unterrichtsgegenständen
und für fächerübergreifenden Unterricht.
Dies ist ein Service der
Österreichischen Professoren Union